Упр.213 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 213. Докажите, что если функция f дифференцируема в каждой точке числовой прямой и для любых значений x_1 и x_2 выполнено равенство f(x_1+x_2)=f(x_1)·f(x_2), то f(x)=e^(?x) или f(x)=0.

Из условия при $$x_1=0$$ и любом $$x$$ получаем

$$f(0+x)=f(0)\cdot f(x),$$

то есть

$$f(x)=f(0)\cdot f(x).$$

Подставим $$x=0$$:

$$f(0)=f(0)\cdot f(0),$$

следовательно,

$$f(0)^2=f(0),$$

откуда

$$f(0)=0 \quad \text{или} \quad f(0)=1.$$

1) Если $$f(0)=0$$, то из равенства

$$f(x)=f(0)\cdot f(x)$$

получаем

$$f(x)=0$$

для всех $$x$$.

2) Если $$f(0)=1$$, то функция не тождественно равна нулю. Дифференцируем равенство

$$f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$$

по переменной $$x_2$$ при фиксированном $$x_1$$:

$$f'(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f'(x_2).$$

Положим $$x_2=0$$:

$$f'(x_1)=f(x_1)\cdot f'(0).$$

Обозначим $$a=f'(0)$$. Тогда

$$f'(x)=a f(x).$$

Решением этого дифференциального уравнения является

$$f(x)=Ce^{ax}.$$

Так как $$f(0)=1$$, то $$C=1$$, значит

$$f(x)=e^{ax}.$$

Проверка:

$$f(x_1+x_2)=e^{a(x_1+x_2)}=e^{ax_1}\cdot e^{ax_2}=f(x_1)\cdot f(x_2).$$

Следовательно, все такие функции имеют вид $$f(x)=e^{ax}$$ или $$f(x)=0$$.

Ответ

$$f(x)=0$$ или $$f(x)=e^{ax}, \quad a\in \mathbb{R}.$$