Упр.193 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 193. Найдите все значения а, для которых неравенство 4^x-a·2^x-a+3?0 имеет хотя бы одно решение.

Пусть $$y=2^x,$$ тогда $$y>0$$ и неравенство принимает вид

$$y^2-ay-(a-3)\le 0.$$

Рассмотрим его как квадратное относительно $$y$$. Чтобы оно имело хотя бы одно решение при $$y>0,$$ достаточно, чтобы парабола пересекала ось $$y$$ в положительной области.

Найдём дискриминант:

$$D=a^2+4(a-3)=a^2+4a-12=(a+6)(a-2).$$

Для существования действительных корней нужно

$$D\ge 0,$$

то есть

$$a\le -6 \quad \text{или} \quad a\ge 2.$$

Теперь проверим, есть ли при этих значениях $$a$$ хотя бы одно положительное значение $$y$$, удовлетворяющее неравенству.

Если $$a\le -6,$$ то

$$f(0)=-(a-3)=3-a>0,$$

а ветви параболы направлены вверх, значит, при больших отрицательных $$y$$ решений нет, но нас интересуют только $$y>0$$. При $$a\le -6$$ оба корня отрицательны, поэтому положительных решений нет.

Если $$a\ge 2,$$ то

$$f(1)=1-a-(a-3)=4-2a\le 0,$$

а при $$y\to +\infty$$ имеем $$f(y)\to +\infty.$$ Следовательно, существует хотя бы одно положительное $$y,$$ а значит, и хотя бы одно значение $$x$$.

Итак, подходят все $$a\ge 2.$$

Ответ

$$[2;+\infty).$$