Упр.186 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 186. Решите систему уравнений {tg(x)tg(y)=sin(z)/(cos(x)cos(y))+3, tg(y)tg(z)=sin(x)/(cos(y)cos(z))-5, tg(x)tg(z)=sin(y)/(cos(x)cos(z))-3}.
Обозначим
$$a=\sin x,\quad b=\sin y,\quad c=\sin z.$$
Тогда
$$\cos x=\sqrt{1-a^2},\quad \cos y=\sqrt{1-b^2},\quad \cos z=\sqrt{1-c^2}$$
и система принимает вид
$$ ab=c+3\sqrt{1-a^2}\sqrt{1-b^2},\\ bc=a-5\sqrt{1-b^2}\sqrt{1-c^2},\\ ac=b-3\sqrt{1-a^2}\sqrt{1-c^2}. $$
Из первого уравнения:
$$ ab-c=3\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}. $$
Возведём в квадрат:
$$ a^2b^2-2abc+c^2=9(1-a^2)(1-b^2). $$
Из третьего уравнения:
$$ b-ac=3\sqrt{(1-a^2)(1-c^2)}. $$
После возведения в квадрат и преобразований получаем
$$ (1-a^2)(b^2-c^2)=0. $$
Так как далее из системы следует $$a^2\neq 1$$, то
$$ b^2=c^2,\quad b=\pm c. $$
Из второго уравнения:
$$ a-bc=5\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}. $$
После возведения в квадрат и упрощения получаем
$$ (b^2-1)(a^2-3b^2+2)=0. $$
Так как $$b^2\neq 1$$, то
$$ a^2=3b^2-2. $$
Подставим это в первое уравнение. Получаем уравнение относительно $$b$$:
$$ (b^2-1)(8b^2-2\sqrt{3}\,b-9)=0. $$
Отсюда, с учётом $$b^2\neq 1$$, имеем
$$ 8b^2-2\sqrt{3}\,b-9=0. $$
Решая его, получаем допустимое значение
$$ b=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}. $$
Тогда
$$ b^2=\frac34,\quad c^2=\frac34,\quad a^2=\frac14. $$
Следовательно,
$$ \sin x=\pm \frac12,\quad \sin y=\pm \frac{\sqrt3}{2},\quad \sin z=\pm \frac{\sqrt3}{2}. $$
Подбирая значения, удовлетворяющие исходной системе, получаем два семейства решений:
$$ x=\frac{\pi}{6}+\pi m,\quad y=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad z=-\frac{\pi}{3}+\pi(2p-m-n), $$
или
$$ x=-\frac{\pi}{6}+\pi m,\quad y=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad z=\frac{\pi}{3}+\pi(2p-m-n+1), $$
где $$m,n,p\in\mathbb Z$$.
Ответ
$$ \left(\frac{\pi}{6}+\pi m;\ \frac{\pi}{3}+\pi n;\ -\frac{\pi}{3}+\pi(2p-m-n)\right), $$
$$ \left(-\frac{\pi}{6}+\pi m;\ -\frac{\pi}{3}+\pi n;\ \frac{\pi}{3}+\pi(2p-m-n+1)\right), \quad m,n,p\in\mathbb Z. $$
