Упр.164 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) |x|sin(x)+x=0; б) v(sin(x)-1)+2x=0;
в) |x|cos(x)-x=0; г) ((vx+v(-x))/2)^2=sin(x/2).

1. а) Рассмотрим случаи по знаку $$x$$.

   Если $$x>0$$, то $$|x|=x$$ и

   $$x\sin x+x=0$$

   $$x(\sin x+1)=0.$$

   Так как $$x>0$$, получаем $$\sin x=-1$$, откуда

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и

   $$-x\sin x+x=0$$

   $$x(1-\sin x)=0.$$

   Так как $$x<0$$, получаем $$\sin x=1$$, откуда

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Если $$x=0$$, то уравнение выполняется.

2. б) Для существования корня нужно, чтобы

   $$\sin x-1\ge 0.$$

   Но $$\sin x\le 1$$ при всех $$x$$, значит возможно только

   $$\sin x=1.$$

   Тогда

   $$\sqrt{\sin x-1}+2x=0 \;\Rightarrow\; 0+2x=0 \;\Rightarrow\; x=0.$$

   Однако $$\sin 0=0\ne 1$$, значит решений нет.

3. в) Снова рассмотрим случаи по знаку $$x$$.

   Если $$x>0$$, то $$|x|=x$$ и

   $$x\cos x-x=0$$

   $$x(\cos x-1)=0.$$

   Так как $$x>0$$, получаем $$\cos x=1$$, откуда

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и

   $$-x\cos x-x=0$$

   $$x(\cos x+1)=0.$$

   Так как $$x<0$$, получаем $$\cos x=-1$$, откуда

   $$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Если $$x=0$$, то уравнение выполняется.

4. г) Левая часть неотрицательна, поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной. Кроме того, подкоренные выражения должны существовать:

   $$x\ge 0,\qquad -x\ge 0.$$

   Отсюда

   $$x=0.$$

   Проверим:

   $$\left(\frac{\sqrt{0}+\sqrt{-0}}{2}\right)^2=\sin\frac{0}{2}$$

   $$0=0.$$

Ответ

а) $$x=0,\; x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$\varnothing.$$

в) $$x=0,\; x=2\pi n,\; x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=0.$$