Упр.16 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 16. Докажите, что любое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Пусть дано рациональное число $$\frac{m}{n}$$, где $$m$$ и $$n$$ — целые числа, $$n>0$$.

Рассмотрим деление числа $$m$$ на $$n$$. При этом в процессе деления возможны только остатки $$0,1,2,\dots,n-1$$, то есть всего не более $$n$$ различных остатков.

Если остаток когда-нибудь станет равным $$0$$, то деление закончится, и дробь будет конечной десятичной. Если же остаток не равен нулю, то при продолжении деления на каком-то шаге остаток обязательно повторится, потому что различных остатков конечное число.

Как только остаток повторяется, дальше начинают повторяться и цифры в частном. Значит, десятичная запись дроби становится периодической.

Следовательно, любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Ответ

Любое рациональное число представимо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.