Упр.15 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) 6^(2n-1)+1 кратно 7; б) 3^(3n+2)+2^(4n+1) кратно 11;
в) 4^n+15n-1 кратно 9; г) 7^(2n-1) кратно 48.
а) Докажем, что $$6^{2n-1}+1$$ кратно $$7$$.
При $$n=1$$ получаем:
$$6^1+1=6+1=7,$$
то есть выражение делится на $$7$$.
Пусть при $$n=k$$ утверждение верно, то есть $$6^{2k-1}+1$$ кратно $$7$$. Докажем для $$n=k+1$$:
$$ 6^{2(k+1)-1}+1=6^{2k+1}+1=6^2\cdot 6^{2k-1}+1=36\cdot 6^{2k-1}+1. $$
Так как $$36=35+1,$$ то
$$ 36\cdot 6^{2k-1}+1=35\cdot 6^{2k-1}+\bigl(6^{2k-1}+1\bigr). $$
Первое слагаемое кратно $$7$$, и по предположению индукции второе тоже кратно $$7$$. Значит, $$6^{2(k+1)-1}+1$$ кратно $$7$$.
Следовательно, утверждение верно для любого натурального $$n$$.
б) Докажем, что $$3^{3n+2}+2^{4n+1}$$ кратно $$11$$.
При $$n=1$$:
$$3^5+2^5=243+32=275,$$
а $$275$$ делится на $$11$$.
Пусть при $$n=k$$ выражение $$3^{3k+2}+2^{4k+1}$$ кратно $$11$$. Рассмотрим $$n=k+1$$:
$$ 3^{3(k+1)+2}+2^{4(k+1)+1}=3^{3k+5}+2^{4k+5}. $$
Вынесем множители:
$$ 3^{3k+5}+2^{4k+5}=3^3\cdot 3^{3k+2}+2^4\cdot 2^{4k+1} =27\cdot 3^{3k+2}+16\cdot 2^{4k+1}. $$
Так как $$27=11+16,$$ то
$$ 27\cdot 3^{3k+2}+16\cdot 2^{4k+1} =11\cdot 3^{3k+2}+16\bigl(3^{3k+2}+2^{4k+1}\bigr). $$
Первое слагаемое кратно $$11$$, а второе кратно $$11$$ по предположению индукции. Значит, и всё выражение кратно $$11$$.
Следовательно, утверждение верно для любого натурального $$n$$.
в) Докажем, что $$4^n+15n-1$$ кратно $$9$$.
При $$n=1$$:
$$4^1+15\cdot 1-1=4+15-1=18,$$
а $$18$$ делится на $$9$$.
Пусть при $$n=k$$ выражение $$4^k+15k-1$$ кратно $$9$$. Докажем для $$n=k+1$$:
$$ 4^{k+1}+15(k+1)-1=4\cdot 4^k+15k+14. $$
Преобразуем:
$$ 4\cdot 4^k+15k+14 =4(4^k+15k-1)-45k+18. $$
Так как $$45k$$ и $$18$$ кратны $$9$$, а $$4^k+15k-1$$ кратно $$9$$ по предположению индукции, то всё выражение кратно $$9$$.
Следовательно, утверждение верно для любого натурального $$n$$.
г) Докажем, что $$7^{2n-1}$$ кратно $$48$$.
При $$n=1$$:
$$7^{2\cdot 1-1}=7,$$
но $$7$$ не делится на $$48$$. Значит, в таком виде утверждение неверно.
Если в условии имелось в виду $$7^{2n}-1$$, то:
при $$n=1$$
$$7^2-1=49-1=48,$$
а при переходе
$$ 7^{2(k+1)}-1=7^{2k+2}-1=49\cdot 7^{2k}-1 =48\cdot 7^{2k}+\bigl(7^{2k}-1\bigr), $$
и по предположению индукции выражение кратно $$48$$.
Но для записи из условия $$7^{2n-1}$$ доказательство невозможно, так как утверждение неверно уже при $$n=1$$.
Ответ
а) верно; б) верно; в) верно; г) в указанном виде неверно, так как при $$n=1$$ $$7^{2n-1}=7$$ не делится на $$48$$.
