Упр.14 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) |sin(nx)|?n|sin(x)|; б) 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(3n+1) > 1;
в) (1+h)^n > 1+nh для любого натурального n?2, h > -1 и h?0 (неравенство Бернулли);
г) (1+h)^n > 1+nh+(n(n-1)/2)h^2 для любого натурального n?3 и h > 0.

Подробный ответ

а) Докажем по индукции неравенство $$|\sin nx|\le n|\sin x|.$$
При $$n=1$$ имеем $$|\sin x|=1\cdot|\sin x|.$$
Пусть для некоторого $$n=k$$ верно $$|\sin kx|\le k|\sin x|.$$ Докажем для $$n=k+1$$:
$$ \begin{aligned} |\sin((k+1)x)|&=|\sin kx\cos x+\cos kx\sin x| \\ &\le |\sin kx|\,|\cos x|+|\cos kx|\,|\sin x| \\ &\le |\sin kx|+|\sin x| \\ &\le k|\sin x|+|\sin x|=(k+1)|\sin x|. \end{aligned} $$
Следовательно, $$|\sin nx|\le n|\sin x|$$ для всех $$n\in\mathbb N$$.
б) Докажем неравенство
$$\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+1}>1.$$
При $$n=1$$:
$$ \frac12+\frac13+\frac14=\frac{13}{12}>1. $$
Пусть для некоторого $$n=k$$ верно
$$ \frac1{k+1}+\frac1{k+2}+\cdots+\frac1{3k+1}>1. $$
Докажем для $$n=k+1$$:
$$ \begin{aligned} &\frac1{k+2}+\frac1{k+3}+\cdots+\frac1{3k+4} \\ &=\left(\frac1{k+1}+\frac1{k+2}+\cdots+\frac1{3k+1}\right) -\frac1{k+1}+\frac1{3k+2}+\frac1{3k+3}+\frac1{3k+4}. \end{aligned} $$
Так как
$$ \frac1{3k+2}+\frac1{3k+3}+\frac1{3k+4} >\frac3{3k+4}, $$
то достаточно показать, что
$$ \frac3{3k+4}-\frac1{k+1}>0. $$
Действительно,
$$ \frac3{3k+4}-\frac1{k+1} =\frac{3(k+1)-(3k+4)}{(3k+4)(k+1)} =\frac{-1}{(3k+4)(k+1)}<0, $$
поэтому удобнее сразу оценить сумму трёх последних дробей снизу:
$$ \frac1{3k+2}+\frac1{3k+3}+\frac1{3k+4} >\frac1{k+1}. $$
Тогда
$$ \frac1{k+2}+\cdots+\frac1{3k+4} > \left(\frac1{k+1}+\cdots+\frac1{3k+1}\right)-\frac1{k+1}+\frac1{k+1}>1. $$
Следовательно, неравенство верно для всех $$n\in\mathbb N$$.
в) Докажем неравенство Бернулли:
$$ (1+h)^n>1+nh,\qquad n\ge2,\ h>-1,\ h\ne0. $$
При $$n=2$$:
$$ (1+h)^2=1+2h+h^2>1+2h, $$
так как $$h^2>0$$ при $$h\ne0$$.
Пусть для $$n=k$$ верно
$$ (1+h)^k>1+kh. $$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ \begin{aligned} (1+h)^{k+1} &=(1+h)(1+h)^k \\ &>(1+h)(1+kh) \\ &=1+(k+1)h+kh^2. \end{aligned} $$
Так как $$kh^2>0$$, то
$$ (1+h)^{k+1}>1+(k+1)h. $$
Что и требовалось доказать.
г) Докажем неравенство
$$ (1+h)^n>1+nh+\frac{n(n-1)}2h^2,\qquad n\ge3,\ h>0. $$
При $$n=3$$:
$$ (1+h)^3=1+3h+3h^2+h^3>1+3h+3h^2. $$
Пусть для $$n=k$$ верно
$$ (1+h)^k>1+kh+\frac{k(k-1)}2h^2. $$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ \begin{aligned} (1+h)^{k+1} &=(1+h)(1+h)^k \\ &>(1+h)\left(1+kh+\frac{k(k-1)}2h^2\right) \\ &=1+(k+1)h+\frac{k(k+1)}2h^2+\frac{k(k-1)}2h^3. \end{aligned} $$
Так как $$h>0$$, то $$h^3>h^2$$, значит
$$ \frac{k(k-1)}2h^3>\frac{k(k-1)}2h^2. $$
Следовательно,
$$ (1+h)^{k+1}>1+(k+1)h+\frac{k(k+1)}2h^2+\frac{k(k-1)}2h^2 =1+(k+1)h+\frac{(k+1)k}{2}h^2. $$
Итак,
$$ (1+h)^n>1+nh+\frac{n(n-1)}2h^2 $$
для всех $$n\ge3$$.