Упр.24 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
1) а) 2sin^2(x)+3sin(x)=2; б) tg^2(x)-4tg(x)+3=0;
в) 2cos^2(x)-5cos(x)=3; г) 2sin^2(x)+sin(x)=0.
2) а) 6sin^2(x)-2sin(2x)=1; б) sin^2(x)-cos^2(x)=v2/2;
в) 4sin(x)cos(x)=v3; г) cos^4(x)-sin^4(x)=1.
а) $$2\sin^2 x+3\sin x=2$$
Положим $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2+3y-2=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25.$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}.$$
Получаем $$y_1=\frac12,\quad y_2=-2.$$
Так как $$\sin x\in[-1;1],$$ то подходит только $$\sin x=\frac12.$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\tg^2 x-4\tg x+3=0$$
Положим $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2-4y+3=0.$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4.$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}.$$
Получаем $$y_1=1,\quad y_2=3.$$
Значит,
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$2\cos^2 x-5\cos x=3$$
Положим $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2-5y-3=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49.$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4}.$$
Получаем $$y_1=-\frac12,\quad y_2=3.$$
Так как $$\cos x\in[-1;1],$$ то подходит только $$\cos x=-\frac12.$$
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$2\sin^2 x+\sin x=0$$
Вынесем общий множитель:
$$\sin x(2\sin x+1)=0.$$
Отсюда
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12.$$
Тогда
$$x=\pi n,$$
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
а) $$6\sin^2 x-2\sin 2x=1$$
Используем $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$1=\sin^2 x+\cos^2 x$$:
$$6\sin^2 x-4\sin x\cos x=\sin^2 x+\cos^2 x.$$
$$5\sin^2 x-4\sin x\cos x-\cos^2 x=0.$$
Если $$\cos x\neq 0,$$ разделим на $$\cos^2 x$$:
$$5\tg^2 x-4\tg x-1=0.$$
Положим $$y=\tg x$$. Тогда
$$5y^2-4y-1=0.$$
$$D=4^2+4\cdot 5\cdot 1=16+20=36.$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 6}{10}.$$
Получаем $$y_1=-\frac15,\quad y_2=1.$$
Значит,
$$\tg x=-\frac15 \Rightarrow x=-\arctg\frac15+\pi n,$$
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\sin^2 x-\cos^2 x=\frac{\sqrt2}{2}$$
Так как $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x,$$ то
$$-\cos 2x=\frac{\sqrt2}{2},$$
$$\cos 2x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$
Тогда
$$2x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$
$$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$4\sin x\cos x=\sqrt3$$
Так как $$2\sin 2x=4\sin x\cos x,$$ получаем
$$2\sin 2x=\sqrt3,$$
$$\sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Тогда
$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$\cos^4 x-\sin^4 x=1$$
Разложим разность квадратов:
$$\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x).$$
Так как $$\cos^2 x+\sin^2 x=1,$$ то
$$\cos^2 x-\sin^2 x=1.$$
Следовательно,
$$\cos 2x=1,$$
$$2x=2\pi n,$$
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$; б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 3+\pi n$$; в) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; г) $$x=\pi n,\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$.
2) а) $$x=-\arctg\frac15+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$; б) $$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n$$; в) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}$$; г) $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$.
