Упр.17 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
2) Какой наименьший положительный период имеет функция:
а) y=cos(x); б) y=tg(x); в) y=sin(x); г) y=ctg(x)?
3) Найдите наименьший положительный период функции:
а) y=sin(x/2); б) y=cos(4x+1);
в) y=tg(2x); г) y=cos(x/3).
1) Функцию $$f(x)$$ называют периодической с периодом $$T \ne 0$$, если для любого $$x$$ из области определения выполняется
$$f(x+T)=f(x), \quad x \in D(f).$$
2) Наименьшие положительные периоды основных тригонометрических функций:
а) $$y=\cos x$$, $$T=2\pi$$;
б) $$y=\tg x$$, $$T=\pi$$;
в) $$y=\sin x$$, $$T=2\pi$$;
г) $$y=\ctg x$$, $$T=\pi$$.
3) Найдём наименьшие положительные периоды данных функций:
а) $$y=\sin \frac{x}{2}$$. Здесь аргумент равен $$\frac{x}{2}$$, значит период увеличивается в 2 раза:
$$T=2\pi \cdot 2=4\pi.$$
б) $$y=\cos(4x+1)$$. Сдвиг $$+1$$ на период не влияет, а коэффициент при $$x$$ равен 4, поэтому
$$T=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.$$
в) $$y=\tg(2x)$$. У функции $$\tg x$$ период $$\pi$$, значит
$$T=\frac{\pi}{2}.$$
г) $$y=\cos \frac{x}{3}$$. Период увеличивается в 3 раза:
$$T=2\pi \cdot 3=6\pi.$$
Ответ
1) $$f(x)$$ — периодическая функция с периодом $$T \ne 0$$, если $$f(x+T)=f(x)$$ для всех $$x \in D(f)$$.
2) а) $$2\pi$$; б) $$\pi$$; в) $$2\pi$$; г) $$\pi$$.
3) а) $$4\pi$$; б) $$\frac{\pi}{2}$$; в) $$\frac{\pi}{2}$$; г) $$6\pi$$.
