Упр.30 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 30. Докажите, что числа 1/log(3; 2), 1/log(6; 2), 1/log(12; 2) являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Обозначим данные числа:

$$a_1=\frac{1}{\log_3 2}=\log_2 3,$$

$$a_2=\frac{1}{\log_6 2}=\log_2 6,$$

$$a_3=\frac{1}{\log_{12} 2}=\log_2 12.$$

Проверим условие арифметической прогрессии: средний член должен быть равен полусумме крайних.

$$2a_2=2\log_2 6=\log_2 6^2=\log_2 36,$$

а также

$$a_1+a_3=\log_2 3+\log_2 12=\log_2(3\cdot 12)=\log_2 36.$$

Следовательно,

$$2a_2=a_1+a_3,$$

то есть

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}.$$

Значит, числа $$\frac{1}{\log_3 2},\ \frac{1}{\log_6 2},\ \frac{1}{\log_{12} 2}$$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ

Да, являются.