Упр.273 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) (?; 3?/2)?cos(1,5?+0,5x)dx; б) (1; 2)?(x^(-2)+x^2)dx;
в) (?/12; ?/6)?cos(3x-sin(2x))dx; г) (-5; -2)?(5-6x-x^2)dx.

Подробный ответ

$$\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \cos\left(1{,}5\pi+0{,}5x\right)\,dx$$
Положим $$u=1{,}5\pi+0{,}5x$$, тогда $$du=0{,}5\,dx$$, то есть $$dx=2\,du$$.
Тогда
$$\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \cos\left(1{,}5\pi+0{,}5x\right)\,dx=2\sin\left(1{,}5\pi+0{,}5x\right)\Bigg|_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}.$$
$$2\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{3\pi}{4}\right)-2\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=2\sin\frac{9\pi}{4}-2\sin 2\pi=\sqrt{2}.$$
$$\int_{1}^{2}\left(x^{-2}+x^2\right)\,dx$$
Найдём первообразную:
$$\int \left(x^{-2}+x^2\right)\,dx=-x^{-1}+\frac{x^3}{3}=-\frac{1}{x}+\frac{x^3}{3}.$$
Тогда
$$\left(-\frac{1}{x}+\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^{2}=\left(-\frac12+\frac83\right)-\left(-1+\frac13\right)=\frac{13}{6}+\frac{2}{3}=\frac{17}{6}.$$
$$\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}}(\cos 3x-\sin 2x)\,dx$$
Первообразная:
$$\int(\cos 3x-\sin 2x)\,dx=\frac13\sin 3x+\frac12\cos 2x.$$
Подставим пределы:
$$\left(\frac13\sin 3x+\frac12\cos 2x\right)\Bigg|_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}}$$
$$=\left(\frac13\sin\frac{\pi}{2}+\frac12\cos\frac{\pi}{3}\right)-\left(\frac13\sin\frac{\pi}{4}+\frac12\cos\frac{\pi}{6}\right)$$
$$=\left(\frac13+\frac14\right)-\left(\frac{\sqrt2}{6}+\frac{\sqrt3}{4}\right)=\frac{7-2\sqrt2-3\sqrt3}{12}.$$
$$\int_{-5}^{-2}(5-6x-x^2)\,dx$$
Первообразная:
$$\int(5-6x-x^2)\,dx=5x-3x^2-\frac{x^3}{3}.$$
Тогда
$$\left(5x-3x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-5}^{-2}$$
$$=\left(-10-12+\frac{8}{3}\right)-\left(-25-75+\frac{125}{3}\right)=39.$$