Упр.263 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 263. В какой точке параболы y=-x^2/2-1 касательная наклонена к оси абсцисс под углом: а) 45°; б) 135°?

Найдём производную функции $$y=-\frac{x^2}{2}-1.$$

$$y’=-x.$$

Угол наклона касательной к оси абсцисс равен $$\alpha,$$ поэтому её угловой коэффициент равен $$k=\tan \alpha.$$ Значит, нужно решить уравнение

$$-x=\tan \alpha.$$

а) При $$\alpha=45^\circ$$ имеем

$$-x=\tan 45^\circ=1,$$

откуда

$$x=-1.$$

Тогда

$$y=-\frac{(-1)^2}{2}-1=-\frac12-1=-\frac32.$$

Следовательно, точка касания:

$$M(-1;\,-\frac32).$$

б) При $$\alpha=135^\circ$$ имеем

$$-x=\tan 135^\circ=-1,$$

откуда

$$x=1.$$

Тогда

$$y=-\frac{1^2}{2}-1=-\frac12-1=-\frac32.$$

Следовательно, точка касания:

$$M(1;\,-\frac32).$$

Ответ

а) $$M(-1;\,-\frac32)$$; б) $$M(1;\,-\frac32).$$