Упр.254 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) x_1(t)=2 2/3 t^3, x_2(t)=2t-3;
б) x_1(t)=9t^2+1, x_2(t)=t^3.

1. а) Скорости точек равны производным их координат:

   $$x_1(t)=2\frac{2}{3}t^3=\frac{8}{3}t^3,\qquad x_2(t)=2t-3.$$

   Тогда

   $$x_1′(t)=8t^2,\qquad x_2′(t)=2.$$

   Нужно найти, при каких $t$ скорость первой точки меньше скорости второй:

   $$8t^2<2.$$

   $$t^2<\frac14,\qquad -\frac12<t<\frac12.$$

   Так как время $t$ неотрицательно, получаем:

   $$0<t<\frac12.$$

2. б) Найдём производные:

   $$x_1(t)=9t^2+1,\qquad x_2(t)=t^3.$$

   $$x_1′(t)=18t,\qquad x_2′(t)=3t^2.$$

   Составим неравенство:

   $$18t<3t^2.$$

   $$6t<t^2,$$

   $$t^2-6t>0,$$

   $$t(t-6)>0.$$

   Отсюда

   $$t<0 \text{ или } t>6.$$

   Так как время $t\ge 0$, остаётся:

   $$t>6.$$

Ответ

а) $$\left(0;\frac12\right)$$; б) $$\left(6;+\infty\right).$$