Упр.182 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {(x-y)(x^2-y^2)=45, x+y=5}; б) {x^2y^3+x^3y^2=12, x^2y^3-x^3y^2=4};
в) {x^2y^3=16, x^3y^2=2}; г) {x^2-xy=28, y^2-xy=-12}.

1. а)

   $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$
   Тогда первое уравнение системы можно записать так:
   $$ (x-y)(x^2-y^2)= (x-y)^2(x+y)=45. $$
   Так как $$x+y=5,$$ получаем:
   $$ (x-y)^2\cdot 5=45, $$
   $$ (x-y)^2=9, $$
   $$ x-y=\pm 3. $$
   Решаем две системы:
   $$ \begin{cases} x+y=5,\\ x-y=3 \end{cases} \Rightarrow x=4,\ y=1; $$
   $$ \begin{cases} x+y=5,\\ x-y=-3 \end{cases} \Rightarrow x=1,\ y=4. $$

2. б)

   Сложим и вычтем уравнения:
   $$ \begin{cases} x^2y^3+x^3y^2=12,\\ x^2y^3-x^3y^2=4 \end{cases} $$
   $$2x^2y^3=16,\quad x^2y^3=8,$$
   $$2x^3y^2=8,\quad x^3y^2=4.$$
   Делим первое из найденных равенств на второе:
   $$\frac{x^2y^3}{x^3y^2}=\frac{8}{4},$$
   $$\frac{y}{x}=2,\quad y=2x.$$
   Подставим в $$x^3y^2=4$$:
   $$x^3(2x)^2=4,$$
   $$4x^5=4,$$
   $$x^5=1,$$
   $$x=1,\ y=2.$$

3. в)

   Из системы
   $$ \begin{cases} x^2y^3=16,\\ x^3y^2=2 \end{cases} $$
   найдём частное:
   $$\frac{x^2y^3}{x^3y^2}=\frac{16}{2},$$
   $$\frac{y}{x}=8,\quad y=8x.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$x^3(8x)^2=2,$$
   $$64x^5=2,$$
   $$x^5=\frac{1}{32},$$
   $$x=\frac12,\ y=4.$$

4. г)

   Преобразуем уравнения:
   $$x^2-xy=x(x-y)=28,$$
   $$y^2-xy=y(y-x)=-12.$$
   Из первого уравнения:
   $$x(x-y)=28.$$
   Из второго:
   $$y(y-x)=-12,$$
   $$y(x-y)=12.$$
   Делим первое на второе:
   $$\frac{x}{y}=\frac{28}{12}=\frac{7}{3},$$
   $$x=\frac{7y}{3}.$$
   Подставим в $$x(x-y)=28$$:
   $$\frac{7y}{3}\left(\frac{7y}{3}-y\right)=28,$$
   $$\frac{7y}{3}\cdot \frac{4y}{3}=28,$$
   $$\frac{28}{9}y^2=28,$$
   $$y^2=9,$$
   $$y=\pm 3.$$
   Тогда
   $$x=\frac{7y}{3}=\pm 7.$$

Ответ

а) $$ (1;4),\ (4;1) $$;
б) $$ (1;2) $$;
в) $$ \left(\frac12;4\right) $$;
г) $$ (-7;-3),\ (7;3). $$