Упр.164 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 5^(3x)-2·5^(3x-1)-3·5^(3x-2)=60;
б) 4^x-3^(x-0,5)=3^(x+0,5)-2^(2x-1);
в) 2^(5x-1)+2^(5x-2)+2^(5x-3)=896;
г) 5^(2x-1)+2^(2x)=5^(2x)-2^(2x+2).

1. а)

   $$5^{3x}-2\cdot 5^{3x-1}-3\cdot 5^{3x-2}=60$$
   $$5^{3x}-2\cdot \frac{1}{5}\cdot 5^{3x}-3\cdot \frac{1}{25}\cdot 5^{3x}=60$$
   $$5^{3x}\left(1-\frac{2}{5}-\frac{3}{25}\right)=60$$
   $$5^{3x}\cdot \frac{12}{25}=60$$
   $$5^{3x}=125=5^3$$
   $$3x=3,\quad x=1$$

2. б)

   $$4^x-3^{x-0,5}=3^{x+0,5}-2^{2x-1}$$
   $$2^{2x}-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 3^x=\sqrt{3}\cdot 3^x-\frac{1}{2}\cdot 2^{2x}$$
   $$\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot 3^x=\frac{3}{2}\cdot 2^{2x}$$
   $$\frac{3^x}{3\sqrt{3}}=\frac{2^{2x}}{8}$$
   $$3^{x-1,5}=2^{2x-3}$$
   $$3^{x-1,5}=4^{x-1,5}$$
   $$x-1,5=0,\quad x=1,5$$

3. в)

   $$2^{5x-1}+2^{5x-2}+2^{5x-3}=896$$
   $$\frac{1}{2}\cdot 2^{5x}+\frac{1}{4}\cdot 2^{5x}+\frac{1}{8}\cdot 2^{5x}=896$$
   $$2^{5x}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right)=896$$
   $$2^{5x}\cdot \frac{7}{8}=896$$
   $$2^{5x}=1024=2^{10}$$
   $$5x=10,\quad x=2$$

4. г)

   $$5^{2x-1}+2^{2x}=5^{2x}-2^{2x+2}$$
   $$\frac{1}{5}\cdot 5^{2x}+2^{2x}=5^{2x}-4\cdot 2^{2x}$$
   $$5\cdot 2^{2x}=\frac{4}{5}\cdot 5^{2x}$$
   $$\frac{2^{2x}}{5^{2x}}=\frac{4}{25}$$
   $$2^{2x-2}=5^{2x-2}$$
   $$2x-2=0,\quad x=1$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$1,5$$; в) $$2$$; г) $$1$$.