Упр.149 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) v(225+x^2)=x^2-47; б) (x-2)^(1/3)=x-2;
в) v(x^2+36)=x^2-54; г) (x^3-5x^2+16x-5)^(1/3)=x-2.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{225+x^2}=x^2-47.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$225+x^2=x^4-94x^2+2209.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^4-95x^2+1984=0.$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-95t+1984=0.$$
$$D=95^2-4\cdot1984=1089,$$
$$t_{1,2}=\frac{95\pm33}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=31,\quad t_2=64.$$
Значит,
$$x^2=31 \quad \text{или} \quad x^2=64.$$
Проверим с учётом области определения: $$x^2-47\ge 0,$$ то есть $$x^2\ge 47.$$
Подходит только $$x^2=64,$$ откуда
$$x=\pm 8.$$
б) $$\sqrt[3]{x-2}=x-2.$$
Обозначим $$t=x-2.$$ Тогда
$$\sqrt[3]{t}=t.$$
Возведём обе части в куб:
$$t=t^3,$$
$$t^3-t=0,$$
$$t(t^2-1)=0,$$
$$t(t-1)(t+1)=0.$$
Отсюда
$$t=0,\; t=1,\; t=-1.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$x-2=0 \Rightarrow x=2,$$
$$x-2=1 \Rightarrow x=3,$$
$$x-2=-1 \Rightarrow x=1.$$
в) $$\sqrt{x^2+36}=x^2-54.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2+36=x^4-108x^2+2916.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^4-109x^2+2880=0.$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-109t+2880=0.$$
$$D=109^2-4\cdot2880=361,$$
$$t_{1,2}=\frac{109\pm19}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=45,\quad t_2=64.$$
Значит,
$$x^2=45 \quad \text{или} \quad x^2=64.$$
С учётом области определения $$x^2-54\ge 0$$, то есть $$x^2\ge 54,$$ подходит только $$x^2=64.$$
Следовательно,
$$x=\pm 8.$$
г) $$\sqrt[3]{x^3-5x^2+16x-5}=x-2.$$
Возведём обе части в куб:
$$x^3-5x^2+16x-5=(x-2)^3.$$
Раскроем куб:
$$x^3-5x^2+16x-5=x^3-6x^2+12x-8.$$
Сократим $$x^3$$ и перенесём всё в одну сторону:
$$x^2+4x+3=0.$$
$$ (x+1)(x+3)=0.$$
Отсюда
$$x=-1 \quad \text{или} \quad x=-3.$$