Упр.107 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=1/2+sin(x-?/6); б) y=1/2tg(x/2-?/3);
в) y=1+1/2cos(?/4-x); г) y=1-tg(2x).

1. а) $$y=\frac12+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Так как $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\le 1,$$ то

   $$-\frac12\le y\le \frac32,$$ значит $$E(y)=\left[-\frac12;\frac32\right].$$

   Функция не является ни чётной, ни нечётной. Период: $$T=2\pi.$$

   Нули функции найдём из уравнения

   $$\frac12+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0,$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12.$$

   Отсюда

   $$x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,$$

   то есть

   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Функция возрастает там, где возрастает синус:

   $$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],$$

   и убывает на

   $$\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

   Максимум: $$y_{\max}=\frac32$$ при $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

   Минимум: $$y_{\min}=-\frac12$$ при $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

2. б) $$y=\frac12\tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)$$

   Область определения задаётся условием, что аргумент тангенса не равен $$\frac{\pi}{2}+\pi n$$:

   $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   Отсюда

   $$x\ne \frac{5\pi}{3}+2\pi n.$$

   Значит,

   $$D(y)=\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\tg t$$ принимает любые действительные значения, то

   $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Функция не является ни чётной, ни нечётной. Период:

   $$T=4\pi.$$

   Нули функции:

   $$\frac12\tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=0 \;\Rightarrow\; \tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=0,$$

   $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}=\pi n,$$

   $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Функция возрастает на каждом промежутке области определения:

   $$\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$y=1+\frac12\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$$

   Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$ то

   $$y=1+\frac12\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Поскольку $$-1\le \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ получаем

   $$\frac12\le y\le \frac32,$$ значит

   $$E(y)=\left[\frac12;\frac32\right].$$

   Функция не является ни чётной, ни нечётной. Период: $$T=2\pi.$$

   Максимум достигается при

   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

   то есть

   $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

   и тогда $$y_{\max}=\frac32.$$

   Минимум достигается при

   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$

   то есть

   $$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,$$

   и тогда $$y_{\min}=\frac12.$$

   Функция возрастает на

   $$\left[-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right],$$

   и убывает на

   $$\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$y=1-\tg 2x$$

   Область определения: $$\tg 2x$$ не существует при

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

   значит

   $$x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\tg t$$ принимает любые действительные значения, то

   $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Функция не является ни чётной, ни нечётной. Период:

   $$T=\frac{\pi}{2}.$$

   Нули функции:

   $$1-\tg 2x=0 \;\Rightarrow\; \tg 2x=1,$$

   $$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

   Функция убывает на каждом промежутке области определения:

   $$\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=\left[-\frac12;\frac32\right],\ T=2\pi.$$
Нули: $$x=2\pi n,\ x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n.$$
Возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right].$$

б) $$D(y)=\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right),\ E(y)=(-\infty;+\infty),\ T=4\pi.$$
Нули: $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
Возрастает на $$\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right).$$

в) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=\left[\frac12;\frac32\right],\ T=2\pi.$$
Максимум $$\frac32$$ при $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$, минимум $$\frac12$$ при $$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n.$$
Возрастает на $$\left[-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right].$$

г) $$D(y)=\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right),\ E(y)=(-\infty;+\infty),\ T=\frac{\pi}{2}.$$
Нули: $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$
Убывает на $$\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right).$$