Упр.545 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) $$f(x)=xe^{5x}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(xe^{5x})’=e^{5x}+5xe^{5x}=e^{5x}(1+5x)$$
Так как $$e^{5x}>0$$ при всех $$x$$, то знак производной определяется множителем $$1+5x$$.
Критическая точка:
$$1+5x=0 \Rightarrow x=-\frac15$$
При $$x<-\frac15$$ имеем $$f'(x)<0$$, при $$x>-\frac15$$ имеем $$f'(x)>0$$. Значит, в точке $$x=-\frac15$$ — минимум.
$$f\!\left(-\frac15\right)=-\frac15 e^{-1}=-\frac{1}{5e}$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-\frac15]$$ и возрастает на $$[-\frac15;+\infty)$$.
б) $$f(x)=x^2\cdot 2^{-x}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(x^2\cdot 2^{-x})’=2x\cdot 2^{-x}+x^2\cdot 2^{-x}\ln 2\cdot(-1)$$
$$f'(x)=2^{-x}x(2-x\ln 2)$$
Так как $$2^{-x}>0$$ при всех $$x$$, критические точки определяются из уравнения
$$x(2-x\ln 2)=0$$
$$x=0,\qquad x=\frac{2}{\ln 2}$$
Исследуем знак производной:
при $$x<0$$ — $$f'(x)<0$$, при $$0<x<\frac{2}{\ln 2}$$ — $$f'(x)>0$$, при $$x>\frac{2}{\ln 2}$$ — $$f'(x)<0$$.
Значит, в точке $$x=0$$ — минимум, а в точке $$x=\frac{2}{\ln 2}$$ — максимум.
$$f(0)=0$$
$$f\!\left(\frac{2}{\ln 2}\right)=\left(\frac{2}{\ln 2}\right)^2 2^{-2/\ln 2}=\frac{4}{(\ln 2)^2}\cdot e^{-2}=\frac{4}{e^2(\ln 2)^2}$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[\frac{2}{\ln 2};+\infty)$$, возрастает на $$[0;\frac{2}{\ln 2}]$$.
в) $$f(x)=xe^{-x}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(xe^{-x})’=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)$$
Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x$$, то
$$f'(x)=0 \Rightarrow 1-x=0 \Rightarrow x=1$$
При $$x<1$$ имеем $$f'(x)>0$$, при $$x>1$$ имеем $$f'(x)<0$$. Значит, в точке $$x=1$$ — максимум.
$$f(1)=\frac{1}{e}$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$.
г) $$f(x)=x^4\cdot 0{,}5^x$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(x^4\cdot 0{,}5^x)’=4x^3\cdot 0{,}5^x+x^4\cdot 0{,}5^x\ln 0{,}5$$
$$f'(x)=0{,}5^x x^3(4-x\ln 2)$$
Критические точки:
$$x=0,\qquad x=\frac{4}{\ln 2}$$
Исследуем знак производной:
при $$x<0$$ — $$f'(x)<0$$, при $$0<x<\frac{4}{\ln 2}$$ — $$f'(x)>0$$, при $$x>\frac{4}{\ln 2}$$ — $$f'(x)<0$$.
Значит, в точке $$x=0$$ — минимум, а в точке $$x=\frac{4}{\ln 2}$$ — максимум.
$$f(0)=0$$
$$f\!\left(\frac{4}{\ln 2}\right)=\left(\frac{4}{\ln 2}\right)^4 0{,}5^{\,4/\ln 2}=\frac{256}{(\ln 2)^4}\cdot e^{-4}=\frac{256}{e^4(\ln 2)^4}$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[\frac{4}{\ln 2};+\infty)$$, возрастает на $$[0;\frac{4}{\ln 2}]$$.
Ответ
а) убывает на $$(-\infty;-\frac15]$$, возрастает на $$[-\frac15;+\infty)$$; минимум $$f_{\min}=-\frac{1}{5e}$$ при $$x=-\frac15$$.
б) убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[\frac{2}{\ln 2};+\infty)$$, возрастает на $$[0;\frac{2}{\ln 2}]$$; минимум $$f_{\min}=0$$ при $$x=0$$, максимум $$f_{\max}=\frac{4}{e^2(\ln 2)^2}$$ при $$x=\frac{2}{\ln 2}$$.
в) возрастает на $$(-\infty;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$; максимум $$f_{\max}=\frac1e$$ при $$x=1$$.
г) убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[\frac{4}{\ln 2};+\infty)$$, возрастает на $$[0;\frac{4}{\ln 2}]$$; минимум $$f_{\min}=0$$ при $$x=0$$, максимум $$f_{\max}=\frac{256}{e^4(\ln 2)^4}$$ при $$x=\frac{4}{\ln 2}$$.
