Упр.520 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$\left(\log_4 x\right)^2+\log_4\sqrt{x}-1{,}5=0$$

   Так как $$\log_4\sqrt{x}=\frac12\log_4 x,$$ получаем

   $$\left(\log_4 x\right)^2+\frac12\log_4 x-1{,}5=0.$$

   Пусть $$t=\log_4 x.$$ Тогда

   $$t^2+\frac12t-1{,}5=0.$$

   Умножим на $$2$$:

   $$2t^2+t-3=0.$$

   $$D=1+24=25,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-1\pm5}{4}.$$

   Отсюда $$t_1=1,\quad t_2=-\frac32.$$

   Тогда

   $$\log_4 x=1 \Rightarrow x=4,$$

   $$\log_4 x=-\frac32 \Rightarrow x=4^{-3/2}=\frac18.$$

2. $$\left(\lg x\right)^2-\lg x^2+1=0$$

   Так как $$\lg x^2=2\lg x,$$ получаем

   $$\left(\lg x\right)^2-2\lg x+1=0.$$

   Пусть $$t=\lg x.$$ Тогда

   $$t^2-2t+1=0,$$

   $$\left(t-1\right)^2=0,$$

   $$t=1.$$

   Следовательно,

   $$\lg x=1 \Rightarrow x=10.$$

3. $$\left(\log_5 x\right)^2-\log_5 x=2$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\left(\log_5 x\right)^2-\log_5 x-2=0.$$

   Пусть $$t=\log_5 x.$$ Тогда

   $$t^2-t-2=0,$$

   $$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0.$$

   Отсюда $$t_1=2,\quad t_2=-1.$$

   Тогда

   $$\log_5 x=2 \Rightarrow x=25,$$

   $$\log_5 x=-1 \Rightarrow x=\frac15.$$

4. $$\left(\log_3 x\right)^2-2\log_3 x-3=0$$

   Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда

   $$t^2-2t-3=0,$$

   $$\left(t-3\right)\left(t+1\right)=0.$$

   Отсюда $$t_1=3,\quad t_2=-1.$$

   Следовательно,

   $$\log_3 x=3 \Rightarrow x=27,$$

   $$\log_3 x=-1 \Rightarrow x=\frac13.$$

Ответ

а) $$x=4,\ \frac18$$; б) $$x=10$$; в) $$x=25,\ \frac15$$; г) $$x=27,\ \frac13$$.