Упр.470 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$3^x+3^{3-x}=12.$$

   Преобразуем:

   $$3^x+\frac{27}{3^x}=12.$$

   Введём замену $$t=3^x,\; t>0.$$ Тогда

   $$t+\frac{27}{t}=12,$$

   $$t^2-12t+27=0.$$

   $$t_1=3,\quad t_2=9.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$3^x=3 \Rightarrow x=1,$$

   $$3^x=9 \Rightarrow x=2.$$

2. $$4^{\sqrt{x-2}}+16=10\cdot 2^{\sqrt{x-2}}.$$

   Заметим, что

   $$4^{\sqrt{x-2}}=\left(2^{\sqrt{x-2}}\right)^2.$$

   Введём замену $$t=2^{\sqrt{x-2}},\; t\ge 1.$$ Тогда

   $$t^2+16=10t,$$

   $$t^2-10t+16=0.$$

   $$t_1=2,\quad t_2=8.$$

   Проверим:

   $$2^{\sqrt{x-2}}=2 \Rightarrow \sqrt{x-2}=1 \Rightarrow x=3,$$

   $$2^{\sqrt{x-2}}=8 \Rightarrow \sqrt{x-2}=3 \Rightarrow x=11.$$

3. $$\left(\frac15\right)^{1-x}-\left(\frac15\right)^x=4{,}96.$$

   Преобразуем первый член:

   $$\left(\frac15\right)^{1-x}=\frac15\left(\frac15\right)^{-x}=\frac{1}{5\left(\frac15\right)^x}.$$

   Удобнее сделать замену $$t=\left(\frac15\right)^x,\; t>0.$$ Тогда

   $$\frac{1}{5t}-t=4{,}96.$$

   Умножим на $$5t$$:

   $$1-5t^2=24{,}8t,$$

   $$5t^2+24{,}8t-1=0.$$

   Корни:

   $$t_1=0{,}04,\quad t_2=-5.$$

   Так как $$t>0,$$ подходит только $$t=0{,}04.$$ Тогда

   $$\left(\frac15\right)^x=0{,}04=\left(\frac15\right)^2,$$

   откуда $$x=2.$$

4. $$4^x-0{,}25^{x-2}=15.$$

   Так как $$0{,}25=\frac14=4^{-1},$$ получаем

   $$0{,}25^{x-2}=4^{2-x}.$$

   Тогда

   $$4^x-4^{2-x}=15.$$

   Введём замену $$t=4^x,\; t>0.$$ Тогда

   $$t-\frac{16}{t}=15,$$

   $$t^2-15t-16=0.$$

   $$t_1=16,\quad t_2=-1.$$

   Так как $$t>0,$$ берём $$t=16.$$ Тогда

   $$4^x=16=4^2,$$

   откуда $$x=2.$$

Ответ

а) $$x=1,\;2$$; б) $$x=3,\;11$$; в) $$x=2$$; г) $$x=2$$.