Упр.296 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) $$f(x)=x^2-2x+8$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x-2=2(x-1).$$
Критическая точка: $$x=1.$$
Так как $$f'(x)<0$$ при $$x<1$$ и $$f'(x)>0$$ при $$x>1,$$ то функция убывает на $$(-\infty;1)$$ и возрастает на $$ (1;+\infty).$$
В точке $$x=1$$ достигается минимум:
$$f(1)=1^2-2\cdot1+8=7.$$
Пересечение с осью $$Oy$$:
$$f(0)=8.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, график — парабола с вершиной $$ (1;7).$$
б) $$f(x)=-\frac{2x^2}{3}+x+\frac{2}{3}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{4x}{3}+1.$$
Критическая точка:
$$-\frac{4x}{3}+1=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{3}{4}.$$
Так как $$f'(x)>0$$ при $$x<\frac{3}{4}$$ и $$f'(x)<0$$ при $$x>\frac{3}{4},$$ то функция возрастает на $$(-\infty;\frac{3}{4})$$ и убывает на $$\left(\frac{3}{4};+\infty\right).$$
В точке $$x=\frac{3}{4}$$ достигается максимум:
$$ f\!\left(\frac{3}{4}\right) =-\frac{2}{3}\left(\frac{3}{4}\right)^2+\frac{3}{4}+\frac{2}{3} =\frac{25}{24}. $$
Пересечения с осями:
$$f(0)=\frac{2}{3}.$$
$$ -\frac{2x^2}{3}+x+\frac{2}{3}=0 \quad \Rightarrow \quad 2x^2-3x-2=0 \quad \Rightarrow \quad x_1=-\frac{1}{2},\; x_2=2. $$
График — парабола, ветви направлены вниз, вершина $$\left(\frac{3}{4};\frac{25}{24}\right).$$
в) $$f(x)=-x^2+5x+4$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2x+5.$$
Критическая точка:
$$-2x+5=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{5}{2}.$$
Так как $$f'(x)>0$$ при $$x<\frac{5}{2}$$ и $$f'(x)<0$$ при $$x>\frac{5}{2},$$ то функция возрастает на $$(-\infty;\frac{5}{2})$$ и убывает на $$\left(\frac{5}{2};+\infty\right).$$
В точке $$x=\frac{5}{2}$$ достигается максимум:
$$ f\!\left(\frac{5}{2}\right) =-\left(\frac{5}{2}\right)^2+5\cdot\frac{5}{2}+4 =\frac{41}{4}. $$
Пересечение с осью $$Oy$$:
$$f(0)=4.$$
Нули функции:
$$ -x^2+5x+4=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{5\pm\sqrt{41}}{2}. $$
График — парабола, ветви направлены вниз, вершина $$\left(\frac{5}{2};\frac{41}{4}\right).$$
г) $$f(x)=\frac{x^2}{4}+\frac{x}{16}+\frac{1}{4}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{16}.$$
Критическая точка:
$$ \frac{x}{2}+\frac{1}{16}=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{1}{8}. $$
Так как $$f'(x)<0$$ при $$x<-\frac{1}{8}$$ и $$f'(x)>0$$ при $$x>-\frac{1}{8},$$ то функция убывает на $$(-\infty;-\frac{1}{8})$$ и возрастает на $$\left(-\frac{1}{8};+\infty\right).$$
В точке $$x=-\frac{1}{8}$$ достигается минимум:
$$ f\!\left(-\frac{1}{8}\right) =\frac{1}{4}\left(\frac{1}{64}\right)+\frac{-1}{128}+\frac{1}{4} =\frac{63}{256}. $$
Пересечение с осью $$Oy$$:
$$f(0)=\frac{1}{4}.$$
График — парабола, ветви направлены вверх, вершина $$\left(-\frac{1}{8};\frac{63}{256}\right).$$
Ответ
а) убывает на $$(-\infty;1)$$, возрастает на $$(1;+\infty)$$, минимум при $$x=1$$, $$f_{\min}=7$$;
б) возрастает на $$(-\infty;\frac{3}{4})$$, убывает на $$\left(\frac{3}{4};+\infty\right)$$, максимум при $$x=\frac{3}{4}$$, $$f_{\max}=\frac{25}{24}$$;
в) возрастает на $$(-\infty;\frac{5}{2})$$, убывает на $$\left(\frac{5}{2};+\infty\right)$$, максимум при $$x=\frac{5}{2}$$, $$f_{\max}=\frac{41}{4}$$;
г) убывает на $$(-\infty;-\frac{1}{8})$$, возрастает на $$\left(-\frac{1}{8};+\infty\right)$$, минимум при $$x=-\frac{1}{8}$$, $$f_{\min}=\frac{63}{256}$$.
