Упр.258 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$f(x)=2\cos x+x$$

   Касательная параллельна оси абсцисс, если $$f'(x)=0.$$

   $$f'(x)=-2\sin x+1$$
   $$-2\sin x+1=0,\quad \sin x=\frac12$$

   Отсюда
   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Найдём ординаты точек:

   $$f\!\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)=2\cos\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}+2\pi n=\sqrt3+\frac{\pi}{6}+2\pi n$$
   $$f\!\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right)=2\cos\frac{5\pi}{6}+\frac{5\pi}{6}+2\pi n=-\sqrt3+\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$

   Значит, касательная параллельна оси абсцисс в точках
   $$\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\sqrt3+\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)$$
   и
   $$\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\sqrt3+\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$f(x)=\sin 2x+\sqrt3\,x$$

   $$f'(x)=2\cos 2x+\sqrt3$$
   $$2\cos 2x+\sqrt3=0,\quad \cos 2x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

   Тогда
   $$2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   значит
   $$x=\frac{5\pi}{12}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Найдём ординаты точек:

   $$f\!\left(\frac{5\pi}{12}+\pi n\right)=\sin\!\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right)+\sqrt3\left(\frac{5\pi}{12}+\pi n\right)=\frac12+\sqrt3\left(\frac{5\pi}{12}+\pi n\right)$$
   $$f\!\left(\frac{7\pi}{12}+\pi n\right)=\sin\!\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right)+\sqrt3\left(\frac{7\pi}{12}+\pi n\right)=-\frac12+\sqrt3\left(\frac{7\pi}{12}+\pi n\right)$$

   Следовательно, искомые точки:
   $$\left(\frac{5\pi}{12}+\pi n;\,\frac12+\sqrt3\left(\frac{5\pi}{12}+\pi n\right)\right)$$
   и
   $$\left(\frac{7\pi}{12}+\pi n;\,-\frac12+\sqrt3\left(\frac{7\pi}{12}+\pi n\right)\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$f(x)=\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$

   $$f'(x)=-\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$
   $$-\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=0,\quad \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=0$$

   $$x-\frac{\pi}{3}=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   $$f\!\left(\frac{\pi}{3}+\pi n\right)=\cos(\pi n)=(-1)^n.$$

   Значит, точки касания:
   $$\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,1\right)$$
   и
   $$\left(\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\,-1\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$f(x)=\sqrt2\,x-2\sin x$$

   $$f'(x)=\sqrt2-2\cos x$$
   $$\sqrt2-2\cos x=0,\quad \cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$

   Отсюда
   $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Найдём ординаты точек:

   $$f\!\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)=\sqrt2\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)-2\sin\frac{\pi}{4}=\sqrt2\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n-1\right)$$
   $$f\!\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)=\sqrt2\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)-2\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\left(1-\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)$$

   Следовательно, искомые точки:
   $$\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\sqrt2\left(\frac{\pi}{4}-1\right)+2\sqrt2\,\pi n\right)$$
   и
   $$\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\sqrt2\left(1-\frac{\pi}{4}\right)+2\sqrt2\,\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\sqrt3+\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\ \left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\sqrt3+\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(\frac{5\pi}{12}+\pi n;\,\frac12+\sqrt3\left(\frac{5\pi}{12}+\pi n\right)\right),\ \left(\frac{7\pi}{12}+\pi n;\,-\frac12+\sqrt3\left(\frac{7\pi}{12}+\pi n\right)\right),\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,1\right),\ \left(\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\,-1\right),\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\sqrt2\left(\frac{\pi}{4}-1\right)+2\sqrt2\,\pi n\right),\ \left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\sqrt2\left(1-\frac{\pi}{4}\right)+2\sqrt2\,\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$