Упр.172 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) $$\sin 2x+2\cos x=1$$
Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:
$$ 2\sin x\cos x+2\cos^2 x=\sin^2 x+\cos^2 x $$
$$ 3\sin^2 x-2\sin x\cos x-\cos^2 x=0 $$Проверим случай $$\cos x=0$$: тогда $$\sin x=\pm 1$$, и уравнение не выполняется. Значит, $$\cos x\ne 0$$, можно разделить на $$\cos^2 x$$:
$$ 3\tg^2 x-2\tg x-1=0 $$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$ 3t^2-2t-1=0 $$
$$ (3t+1)(t-1)=0 $$$$ t_1=1,\qquad t_2=-\frac13 $$
Следовательно,
$$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
$$ x=-\arctg\frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$б) $$\sin^4\frac{x}{4}-\cos^4\frac{x}{4}=0$$
Разложим разность квадратов:
$$ \left(\sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}\right)\left(\sin^2\frac{x}{4}+\cos^2\frac{x}{4}\right)=0 $$
Так как $$\sin^2\frac{x}{4}+\cos^2\frac{x}{4}=1$$, получаем
$$ \sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}=0 $$
$$ \cos\frac{x}{2}=0 $$Тогда
$$ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
$$ x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z $$в) $$3\sin 2x+\cos 2x=2\cos^2 x$$
Используем формулы двойного угла:
$$ 3\cdot 2\sin x\cos x+\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)=2\cos^2 x $$
$$ 6\sin x\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x $$
$$ \sin^2 x-6\sin x\cos x+\cos^2 x=0 $$Разделим на $$\cos^2 x$$:
$$ \tg^2 x-6\tg x+1=0 $$
$$ \tg x=3\pm 2\sqrt2 $$
Следовательно,
$$ x=\arctg(3-2\sqrt2)+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
$$ x=\arctg(3+2\sqrt2)+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$г) $$1-\cos x=2\sin\frac{x}{2}$$
Преобразуем левую часть по формуле $$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$:
$$ 2\sin^2\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2} $$
$$ 2\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-1\right)=0 $$Отсюда:
$$ \sin\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{x}{2}=1 $$
$$ \frac{x}{2}=\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
$$ x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z $$$$ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
$$ x=\pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\arctg\frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
б) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
в) $$x=\arctg(3-2\sqrt2)+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\arctg(3+2\sqrt2)+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
г) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
