Упр.105 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) $$f(x)=\frac12\tg 2x$$
Область определения:
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<2x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$D(f)=\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n;\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Область значений:
$$E(f)=\mathbb R.$$
Функция нечётная.
Нули функции:
$$\frac12\tg 2x=0 \;\Longleftrightarrow\; \tg 2x=0 \;\Longleftrightarrow\; 2x=\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \;\Longleftrightarrow\; \tg 2x>0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{\pi}{2}n<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n,$$
$$f(x)<0 \;\Longleftrightarrow\; -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n<x<\frac{\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на всей области определения, экстремумов нет.
б) $$f(x)=-3\cos\frac{3x}{2}$$
Область определения:
$$D(f)=\mathbb R.$$
Область значений:
$$-1\le \cos\frac{3x}{2}\le 1,$$
умножая на $$-3,$$ получаем
$$-3\le f(x)\le 3,$$
то есть
$$E(f)=[-3;3].$$
Функция чётная.
Нули функции:
$$-3\cos\frac{3x}{2}=0 \;\Longleftrightarrow\; \cos\frac{3x}{2}=0,$$
$$\frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \;\Longleftrightarrow\; \cos\frac{3x}{2}<0,$$
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{3x}{2}<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$
$$\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}n<x<\pi+\frac{4\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$f(x)<0 \;\Longleftrightarrow\; \cos\frac{3x}{2}>0,$$
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{3x}{2}<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$-\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}n<x<\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция убывает на промежутках
$$\left[\frac{4\pi}{3}n;\,\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
и возрастает на промежутках
$$\left[-\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}n;\,\frac{4\pi}{3}n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Максимумы:
$$x_{\max}=\frac{4\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Минимумы:
$$x_{\min}=\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$f(x)=-2\ctg\frac{x}{3}$$
Область определения:
$$\pi n<\frac{x}{3}<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$D(f)=(3\pi n;\,3\pi+3\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$
Область значений:
$$E(f)=\mathbb R.$$
Функция нечётная.
Нули функции:
$$-2\ctg\frac{x}{3}=0 \;\Longleftrightarrow\; \ctg\frac{x}{3}=0,$$
$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \;\Longleftrightarrow\; \ctg\frac{x}{3}<0,$$
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<\frac{x}{3}<\pi n,$$
$$-\frac{3\pi}{2}+3\pi n<x<3\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$f(x)<0 \;\Longleftrightarrow\; \ctg\frac{x}{3}>0,$$
$$\pi n<\frac{x}{3}<\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$3\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на всей области определения, экстремумов нет.
г) $$f(x)=2{,}5\sin\frac{4x}{3}$$
Область определения:
$$D(f)=\mathbb R.$$
Область значений:
$$-1\le \sin\frac{4x}{3}\le 1,$$
умножая на $$2{,}5,$$ получаем
$$-2{,}5\le f(x)\le 2{,}5,$$
то есть
$$E(f)=[-2{,}5;2{,}5].$$
Функция нечётная.
Нули функции:
$$2{,}5\sin\frac{4x}{3}=0 \;\Longleftrightarrow\; \sin\frac{4x}{3}=0,$$
$$\frac{4x}{3}=\pi n,$$
$$x=\frac{3\pi}{4}n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \;\Longleftrightarrow\; \sin\frac{4x}{3}>0,$$
$$2\pi n<\frac{4x}{3}<\pi+2\pi n,$$
$$\frac{3\pi}{2}n<x<\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$f(x)<0 \;\Longleftrightarrow\; \sin\frac{4x}{3}<0,$$
$$\pi+2\pi n<\frac{4x}{3}<2\pi+2\pi n,$$
$$\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi}{2}n<x<\frac{3\pi}{2}+\frac{3\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на промежутках
$$\left[-\frac{3\pi}{8}+\frac{3\pi}{2}n;\,\frac{3\pi}{8}+\frac{3\pi}{2}n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
и убывает на промежутках
$$\left[\frac{3\pi}{8}+\frac{3\pi}{2}n;\,\frac{9\pi}{8}+\frac{3\pi}{2}n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Максимумы:
$$x_{\max}=\frac{3\pi}{8}+\frac{3\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Минимумы:
$$x_{\min}=\frac{9\pi}{8}+\frac{3\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$D(f)=\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n;\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n\right),\ E(f)=\mathbb R,\ x=\frac{\pi}{2}n.$$
б) $$D(f)=\mathbb R,\ E(f)=[-3;3],\ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}n.$$
в) $$D(f)=(3\pi n;\,3\pi+3\pi n),\ E(f)=\mathbb R,\ x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n.$$
г) $$D(f)=\mathbb R,\ E(f)=[-2{,}5;2{,}5],\ x=\frac{3\pi}{4}n,\ n\in\mathbb Z.$$
