Ответы на вопросы стр.12 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

2. Если все случайные величины Х1 Х2 Xn независимы и имеют дисперсию d, то чему равна дисперсия их среднего арифметического X?
3. Сформулируйте закон больших чисел для среднего арифметического и математического ожидания.
Закон больших чисел в теории вероятностей гласит, что при увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое результатов стремится к ожидаемому значению (математическому ожиданию).

1. Если случайные величины $$X_1, X_2, \ldots, X_n$$ имеют одинаковое математическое ожидание $$a$$, то для их среднего арифметического
   $$\overline{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$$
   получаем:
   $$E(\overline{X})=\frac{E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_n)}{n}=\frac{a+a+\cdots+a}{n}=a.$$
2. Если случайные величины $$X_1, X_2, \ldots, X_n$$ независимы и каждая имеет дисперсию $$d$$, то
   $$D(\overline{X})=D\!\left(\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}\right)=\frac{D(X_1)+D(X_2)+\cdots+D(X_n)}{n^2}.$$
   Так как $$D(X_1)=D(X_2)=\cdots=D(X_n)=d,$$ то
   $$D(\overline{X})=\frac{nd}{n^2}=\frac{d}{n}.$$
3. Закон больших чисел для среднего арифметического и математического ожидания формулируется так: при увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое результатов
   стремится к своему математическому ожиданию.

Ответ

1) $$E(\overline{X})=a$$

2) $$D(\overline{X})=\frac{d}{n}$$

3) При большом числе независимых испытаний среднее арифметическое результатов стремится к математическому ожиданию.