Упр.84 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 11 класс, Просвещение: Запишите уравнения регрессии У на X и X на У для случая, когда Rxy = 0. Приведите пример такой выборки.

Уравнение регрессии $$Y$$ на $$X$$ имеет вид

$$\hat y = a x + b,$$

а уравнение регрессии $$X$$ на $$Y$$ —

$$\hat x = c y + d.$$

Коэффициент корреляции связан с коэффициентами регрессии: при $$R_{xy}=0$$ обе регрессии становятся горизонтальной и вертикальной прямыми, то есть

$$a=0,\quad b=\overline y;\qquad c=0,\quad d=\overline x.$$

Следовательно,

$$\hat y=\overline y,\qquad \hat x=\overline x.$$

Пример такой выборки: если значения $$X$$ и $$Y$$ не связаны линейно, то коэффициент корреляции может быть равен нулю. Например, можно взять

$$x=\{1,2,3\},\qquad y=\{1,2,1\}.$$

Для этой выборки среднее значение $$Y$$ равно $$\overline y=\frac{1+2+1}{3}=\frac{4}{3},$$ а среднее значение $$X$$ равно $$\overline x=\frac{1+2+3}{3}=2.$$

Тогда уравнения регрессии имеют вид

$$\hat y=\frac{4}{3},\qquad \hat x=2.$$

Ответ

При $$R_{xy}=0$$ уравнения регрессии имеют вид $$\hat y=\overline y$$ и $$\hat x=\overline x$$. Например, для выборки $$x=\{1,2,3\},\ y=\{1,2,1\}$$ получаем $$\hat y=\frac{4}{3}$$ и $$\hat x=2$$.