Проверь себя 1 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2 Упростить выражение:
3 Сократить дробь
4 Сравнить числа
5 Упростить выражение ((корень 3 степени + a) + (корень 3 степени + b))2 — ((корень 3 степени + a) — (корень 3 степени + b))2

1. $$\frac{15^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}} =15^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 5^{\frac{1}{3}}$$
   Так как $$15=3\cdot 5,$$ то
   $$15^{\frac{2}{3}}=(3\cdot 5)^{\frac{2}{3}}=3^{\frac{2}{3}}5^{\frac{2}{3}}.$$
   Тогда
   $$3^{\frac{2}{3}}5^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 5^{\frac{1}{3}} =3^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}5^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}=3\cdot 5=15.$$

2. $$\left(\frac45\right)^{-2}-\left(\frac1{27}\right)^{\frac13}+4\cdot 3^{\frac32}$$
   $$\left(\frac45\right)^{-2}=\left(\frac54\right)^2=\frac{25}{16},\qquad \left(\frac1{27}\right)^{\frac13}=\frac13,\qquad 3^{\frac32}=3\sqrt3.$$
   Поэтому
   $$\frac{25}{16}-\frac13+12\sqrt3 =\frac{75-16}{48}+12\sqrt3 =\frac{59}{48}+12\sqrt3.$$

3. $$\left(\sqrt[3]{128}+\sqrt[3]{\frac14}\right):\sqrt[3]{2}$$
   $$\sqrt[3]{128}=\sqrt[3]{64\cdot 2}=4\sqrt[3]{2},\qquad \sqrt[3]{\frac14}=\sqrt[3]{\frac{2}{8}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}.$$
   Тогда
   $$\frac{4\sqrt[3]{2}+\frac12\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} =4+\frac12=\frac92.$$

4. $$\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}}\cdot \sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}} =\sqrt[3]{\frac{a^6b^3}{c^3}} =\frac{a^2b}{c}.$$
   
   $$a^{-3}\cdot a^{\frac73}=a^{-\!3+\frac73}=a^{-\frac23}=\frac1{\sqrt[3]{a^2}}.$$

5. $$\frac{a-9a^{\frac12}}{7a^{\frac14}+27} =\frac{a^{\frac12}\left(a^{\frac12}-9\right)}{7\left(a^{\frac14}+3\right)}.$$
   Здесь удобно представить
   $$a^{\frac12}-9=\left(a^{\frac14}-3\right)\left(a^{\frac14}+3\right).$$
   Тогда
   $$\frac{a^{\frac12}\left(a^{\frac14}-3\right)\left(a^{\frac14}+3\right)}{7\left(a^{\frac14}+3\right)} =\frac{a^{\frac12}\left(a^{\frac14}-3\right)}{7}.$$

6. $$\sqrt[5]{\left(\frac29\right)^3}=\left(\frac29\right)^{\frac35},\qquad \sqrt[5]{\left(\frac14\right)^3}=\left(\frac14\right)^{\frac35}.$$
   Так как $$\frac29>\frac14,$$ а функция $$x^{\frac35}$$ возрастает при $$x>0,$$ то
   $$\sqrt[5]{\left(\frac29\right)^3}>\sqrt[5]{\left(\frac14\right)^3}.$$

7. $$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)^2-\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2$$
   Используем формулу разности квадратов:
   $$X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y).$$
   Тогда
   $$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)^2-\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2 =\left(2\sqrt[3]{b}\right)\left(2\sqrt[3]{a}\right)=4\sqrt[3]{ab}.$$

Ответ

1) $$15$$;
2) $$\frac{59}{48}+12\sqrt3$$;
3) $$\frac92$$;
4) $$\frac{a^2b}{c}$$, $$\frac1{\sqrt[3]{a^2}}$$;
5) $$\frac{a^{\frac12}\left(a^{\frac14}-3\right)}{7}$$;
6) $$\sqrt[5]{\left(\frac29\right)^3}>\sqrt[5]{\left(\frac14\right)^3}$$;
7) $$4\sqrt[3]{ab}$$.