Упр.972 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 972 Из всех прямоугольных треугольников, у которых сумма одного катета и гипотенузы равна l, найти треугольник с наибольшей площадью. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 972 1111
Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $$a$$ и $$b$$, а гипотенузу через $$c$$. По условию
$$a+c=l,$$
значит
$$c=l-a.$$
Тогда по теореме Пифагора
$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(l-a)^2-a^2}=\sqrt{l^2-2la}.$$
Площадь треугольника как функция от $$a$$ равна
$$S(a)=\frac12 ab=\frac12 a\sqrt{l^2-2la}.$$
Найдём производную:
$$ S'(a)=\frac12\sqrt{l^2-2la}+\frac12 a\cdot \frac{-2l}{2\sqrt{l^2-2la}} =\frac{l^2-3la}{2\sqrt{l^2-2la}}. $$
Критическая точка определяется из уравнения
$$l^2-3la=0,$$
откуда
$$a=\frac l3.$$
При этом
$$c=l-a=l-\frac l3=\frac{2l}{3},$$
а второй катет
$$ b=\sqrt{l^2-2l\cdot \frac l3} =\sqrt{\frac{l^2}{3}} =\frac{l}{\sqrt3}. $$
Следовательно, наибольшую площадь имеет треугольник с катетами $$\frac l3$$ и $$\frac{l}{\sqrt3}$$, гипотенузой $$\frac{2l}{3}$$.
Ответ
Катеты $$\frac l3$$ и $$\frac{l}{\sqrt3}$$, гипотенуза $$\frac{2l}{3}$$.
