Упр.947 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) x корень 4 степени (5-х) на интервале (0; 5);
2) х корень 3 степени (4-x) на интервале (0; 4);
3) корень 3 степени (x2(1-х)) на интервале (0; 1);
4) корень 3 степени (х2 -4х + 6)^-1 на интервале (-1; 5).

1. $$f(x)=x\sqrt[4]{5-x}, \quad x\in(0;5).$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\sqrt[4]{5-x}+x\cdot \frac{1}{4}(5-x)^{-3/4}\cdot(-1)=\sqrt[4]{5-x}-\frac{x}{4\sqrt[4]{(5-x)^3}}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$f'(x)=\frac{4(5-x)-x}{4\sqrt[4]{(5-x)^3}}=\frac{20-5x}{4\sqrt[4]{(5-x)^3}}.$$

   На интервале $(0;5)$ знаменатель положителен, значит знак производной определяется числителем:

   $$20-5x>0 \quad \Rightarrow \quad x<4.$$

   Следовательно, функция возрастает до $x=4$, а затем убывает. Наибольшее значение достигается при $x=4$:

   $$f(4)=4\sqrt[4]{5-4}=4.$$

2. $$f(x)=x\sqrt[3]{4-x}, \quad x\in(0;4).$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\sqrt[3]{4-x}+x\cdot \frac{1}{3}(4-x)^{-2/3}\cdot(-1)=\sqrt[3]{4-x}-\frac{x}{3\sqrt[3]{(4-x)^2}}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$f'(x)=\frac{3(4-x)-x}{3\sqrt[3]{(4-x)^2}}=\frac{12-4x}{3\sqrt[3]{(4-x)^2}}.$$

   На интервале $(0;4)$ знаменатель положителен, поэтому

   $$12-4x>0 \quad \Rightarrow \quad x<3.$$

   Значит, максимум достигается при $x=3$:

   $$f(3)=3\sqrt[3]{4-3}=3.$$

3. $$f(x)=\sqrt[3]{x^2(1-x)}, \quad x\in(0;1).$$

   Обозначим $$u=x^2(1-x).$$ Тогда $$f(x)=u^{1/3}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{3}u^{-2/3}\cdot u’=\frac{1}{3}\cdot \frac{2x-3x^2}{\sqrt[3]{(x^2-x^3)^2}}.$$

   Знак производной определяется числителем:

   $$2x-3x^2>0 \quad \Rightarrow \quad x(2-3x)>0 \quad \Rightarrow \quad 0<x<\frac{2}{3}.$$

   Следовательно, максимум достигается при $$x=\frac{2}{3}.$$

   $$f\!\left(\frac{2}{3}\right)=\sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(1-\frac{2}{3}\right)}=\sqrt[3]{\frac{4}{27}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{3}.$$

4. $$f(x)=\sqrt[3]{(x^2-4x+5)^{-1}}, \quad x\in(-1;5).$$

   Так как $$x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0,$$ функция определена на всём интервале.

   Пусть $$u=x^2-4x+5,$$ тогда $$f(x)=u^{-1/3}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-\frac{1}{3}(2x-4)(x^2-4x+5)^{-4/3}=-\frac{2x-4}{3\sqrt[3]{(x^2-4x+5)^4}}.$$

   Знаменатель положителен, поэтому

   $$f'(x)>0 \quad \Leftrightarrow \quad 2x-4<0 \quad \Leftrightarrow \quad x<2.$$

   Значит, функция возрастает при $x<2$ и убывает при $x>2$, поэтому максимум достигается при $$x=2.$$

   $$f(2)=\sqrt[3]{(4-8+5)^{-1}}=\sqrt[3]{1}=1.$$

Ответ

1) $$4$$; 2) $$3$$; 3) $$\frac{\sqrt[3]{4}}{3}$$; 4) $$1$$.