Упр.939 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f(x) = x2 + 16/x2 на промежутке (0;+бесконечность);
2) f(x) = 2/x — x2 на промежутке (-бесконечность;0).

1. $$f(x)=x^2+\frac{16}{x^2}, \quad x>0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2x-\frac{32}{x^3}.$$

   Приравняем её к нулю:

   $$ 2x-\frac{32}{x^3}=0 $$
   $$ 2x^4-32=0 $$
   $$ x^4=16 $$
   $$ x=2 $$
   так как $$x>0$$.

   Проверим значение функции в этой точке:

   $$ f(2)=2^2+\frac{16}{2^2}=4+\frac{16}{4}=4+4=8. $$

   При $$x\to 0+$$ и при $$x\to +\infty$$ функция стремится к $$+\infty$$, значит найденное значение является наименьшим.

2. $$f(x)=\frac{2}{x}-x^2, \quad x<0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-\frac{2}{x^2}-2x.$$

   Приравняем её к нулю:

   $$ -\frac{2}{x^2}-2x=0 $$
   $$ -2\left(\frac{1}{x^2}+x\right)=0 $$
   $$ \frac{1}{x^2}+x=0 $$
   $$ 1+x^3=0 $$
   $$ x^3=-1 $$
   $$ x=-1. $$

   Так как $$-1\in(-\infty;0)$$, найдём значение функции в этой точке:

   $$ f(-1)=\frac{2}{-1}-(-1)^2=-2-1=-3. $$

   При $$x\to -\infty$$ и при $$x\to 0-$$ функция стремится к $$-\infty$$, значит найденное значение является наибольшим.

Ответ

1) $$y_{\min}=8,$$ $$y_{\max}$$ не существует.

2) $$y_{\max}=-3,$$ $$y_{\min}$$ не существует.