Упр.932 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) у = хех;
3) у = ех2;
4) у = е ^-x2.
$$y=x e^{-x}$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty)$$
$$y’=(x)’e^{-x}+x(e^{-x})’=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)$$
$$y’=0 \iff e^{-x}(1-x)=0 \iff x=1$$
$$f(1)=1\cdot e^{-1}=\frac1e$$
Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x$$, то
$$y’>0 \text{ при } x<1,\qquad y'<0 \text{ при } x>1$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;1)$$ и убывает на $$ (1;+\infty)$$, точка $$x=1$$ — точка максимума.
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to+\infty} x e^{-x}=0$$
$$y=x e^x$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty)$$
$$y’=(x)’e^x+x(e^x)’=e^x+xe^x=e^x(1+x)$$
$$y’=0 \iff e^x(1+x)=0 \iff x=-1$$
$$f(-1)=-1\cdot e^{-1}=-\frac1e$$
Так как $$e^x>0$$ при всех $$x$$, то
$$y'<0 \text{ при } x<-1,\qquad y’>0 \text{ при } x>-1$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и возрастает на $$(-1;+\infty)$$, точка $$x=-1$$ — точка минимума.
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to-\infty} x e^x=0$$
$$y=e^{x^2}$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty)$$
$$y’=(x^2)’e^{x^2}=2x e^{x^2}$$
$$y’=0 \iff 2x e^{x^2}=0 \iff x=0$$
$$f(0)=e^0=1$$
Так как $$e^{x^2}>0$$ при всех $$x$$, то
$$y'<0 \text{ при } x<0,\qquad y’>0 \text{ при } x>0$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$(0;+\infty)$$, точка $$x=0$$ — точка минимума.
$$y=e^{-x^2}$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty)$$
$$y’=(-x^2)’e^{-x^2}=-2x e^{-x^2}$$
$$y’=0 \iff -2x e^{-x^2}=0 \iff x=0$$
$$f(0)=e^0=1$$
Так как $$e^{-x^2}>0$$ при всех $$x$$, то
$$y’>0 \text{ при } x<0,\qquad y'<0 \text{ при } x>0$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и убывает на $$(0;+\infty)$$, точка $$x=0$$ — точка максимума.
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\pm\infty} e^{-x^2}=0$$
Ответ
1) $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$, возрастает на $$(-\infty;1)$$, убывает на $$(1;+\infty)$$, максимум в точке $$x=1$$, $$f(1)=\frac1e$$, асимптота $$y=0$$.
2) $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1)$$, возрастает на $$(-1;+\infty)$$, минимум в точке $$x=-1$$, $$f(-1)=-\frac1e$$, асимптота $$y=0$$.
3) $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0)$$, возрастает на $$(0;+\infty)$$, минимум в точке $$x=0$$, $$f(0)=1$$.
4) $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$, возрастает на $$(-\infty;0)$$, убывает на $$(0;+\infty)$$, максимум в точке $$x=0$$, $$f(0)=1$$, асимптота $$y=0$$.
