Упр.89 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$\frac{x+y}{x^{\frac23}-x^{\frac13}y^{\frac13}+y^{\frac23}}+\frac{x-y}{x^{\frac23}+x^{\frac13}y^{\frac13}+y^{\frac23}}-\frac{x^{\frac23}-y^{\frac23}}{x^{\frac13}-y^{\frac13}}$$

   Используем формулы:
   $$x+y=(x^{\frac13}+y^{\frac13})(x^{\frac23}-x^{\frac13}y^{\frac13}+y^{\frac23}),$$
   $$x-y=(x^{\frac13}-y^{\frac13})(x^{\frac23}+x^{\frac13}y^{\frac13}+y^{\frac23}),$$
   $$x^{\frac23}-y^{\frac23}=(x^{\frac13}-y^{\frac13})(x^{\frac13}+y^{\frac13}).$$

   Тогда
   $$\frac{x+y}{x^{\frac23}-x^{\frac13}y^{\frac13}+y^{\frac23}}=x^{\frac13}+y^{\frac13},$$
   $$\frac{x-y}{x^{\frac23}+x^{\frac13}y^{\frac13}+y^{\frac23}}=x^{\frac13}-y^{\frac13},$$
   $$\frac{x^{\frac23}-y^{\frac23}}{x^{\frac13}-y^{\frac13}}=x^{\frac13}+y^{\frac13}.$$

   Следовательно,
   $$x^{\frac13}+y^{\frac13}+x^{\frac13}-y^{\frac13}-\left(x^{\frac13}+y^{\frac13}\right)=x^{\frac13}-y^{\frac13}.$$

2. $$\frac{(a-b)^2}{a^{\frac32}-b^{\frac32}}+\frac{a^2-b^2}{\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right)\left(a+a^{\frac12}b^{\frac12}+b\right)}$$

   Разложим:
   $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$
   $$a^{\frac32}-b^{\frac32}=\left(a^{\frac12}-b^{\frac12}\right)\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right),$$
   $$a+a^{\frac12}b^{\frac12}+b=\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right)^2-a^{\frac12}b^{\frac12}.$$

   Удобнее представить вторую дробь так:
   $$\frac{a^2-b^2}{\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right)\left(a+a^{\frac12}b^{\frac12}+b\right)} =\frac{(a-b)(a+b)}{\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right)\left(a+a^{\frac12}b^{\frac12}+b\right)}.$$

   После приведения к общему знаменателю и упрощения получаем:
   $$2\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right).$$

3. $$\left(\frac{3x^{\frac23}+5x^{\frac13}}{x+1}+\frac{1}{x^{\frac13}+1}\right):\left(4x^{\frac13}+4+\frac{1}{x^{\frac13}}\right)$$

   Обозначим $$t=x^{\frac13}$$. Тогда выражение принимает вид
   $$\left(\frac{3t^2+5t}{t^3+1}+\frac{1}{t^5+1}\right):\left(4t+4+\frac{1}{t}\right).$$

   Используем разложения:
   $$t^3+1=(t+1)(t^2-t+1),$$
   $$t^5+1=(t+1)(t^4-t^3+t^2-t+1).$$

   После преобразований получаем:
   $$\frac{t}{t+1}.$$

   Возвращаясь к $$x$$, имеем
   $$\frac{x^{\frac13}}{x+1}.$$

Ответ

1) $$x^{\frac13}-y^{\frac13}$$
2) $$2\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right)$$
3) $$\frac{x^{\frac13}}{x+1}$$