Упр.770 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = cos2 х — cos х;
2) у = cos х — cos 2х — sin 3х.

1) $$y=\cos^2 x-\cos x$$

Найдём нули функции:

$$\cos^2 x-\cos x=0$$

$$\cos x(\cos x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z$$

или

$$\cos x-1=0 \quad \Rightarrow \quad \cos x=1 \quad \Rightarrow \quad x=2\pi n,\; n\in \mathbb Z$$

2) $$y=\cos x-\cos 2x-\sin 3x$$

Преобразуем выражение:

$$\cos x-\cos 2x=2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}$$

Тогда

$$y=2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}-\sin 3x$$

Так как $$\sin 3x=2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{3x}{2},$$ то

$$y=2\sin\frac{3x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{3x}{2}\right)$$

Используем формулу $$\cos t=\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right):$$

$$y=2\sin\frac{3x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3x}{2}\right)\right)$$

Разность синусов:

$$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$

Получаем

$$y=4\sin\frac{3x}{2}\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}-\frac{3x}{4}\right)\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{4}\right)$$

После упрощения:

$$y=4\sin\frac{3x}{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

Нули функции получаем из равенства нулю каждого множителя:

$$\sin\frac{3x}{2}=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{3x}{2}=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{2\pi n}{3},\; n\in \mathbb Z$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \Rightarrow \quad x-\frac{\pi}{4}=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in \mathbb Z$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{4}\right)=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\pi}{4}-\frac{x}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x=\frac{3\pi}{2}+4\pi n,\; n\in \mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=2\pi n,\; n\in \mathbb Z$$

2) $$x=\frac{2\pi n}{3},\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\frac{3\pi}{2}+4\pi n,\; n\in \mathbb Z$$