Упр.717 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) у = 1 + cos х;
2) у = cos 2х;
3) у = 3 cos х.
$$y=1+\cos x$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то
$$0\le 1+\cos x\le 2,$$
значит, $$E(y)=[0;2].$$
Период функции: $$T=2\pi.$$
Функция чётная, так как
$$y(-x)=1+\cos(-x)=1+\cos x=y(x).$$
Нули функции:
$$1+\cos x=0,$$
$$\cos x=-1,$$
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение равно $$2$$ при
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Наименьшее значение равно $$0$$ при
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает при
$$\pi+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,$$
убывает при
$$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$y=\cos 2x$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то
$$E(y)=[-1;1].$$
Период функции: $$T=\pi.$$
Функция чётная, так как
$$y(-x)=\cos(-2x)=\cos 2x=y(x).$$
Нули функции:
$$\cos 2x=0,$$
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение равно $$1$$ при
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Наименьшее значение равно $$-1$$ при
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает при
$$\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\pi+\pi n,$$
убывает при
$$\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$y=3\cos x$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то
$$-3\le 3\cos x\le 3,$$
значит, $$E(y)=[-3;3].$$
Период функции: $$T=2\pi.$$
Функция чётная, так как
$$y(-x)=3\cos(-x)=3\cos x=y(x).$$
Нули функции:
$$3\cos x=0,$$
$$\cos x=0,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение равно $$3$$ при
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Наименьшее значение равно $$-3$$ при
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает при
$$\pi+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,$$
убывает при
$$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[0;2],\ T=2\pi,$$ функция чётная, нули: $$x=\pi+2\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z,$$ максимум $$2,$$ минимум $$0.$$
2) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[-1;1],\ T=\pi,$$ функция чётная, нули: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},$$ $$n\in\mathbb Z,$$ максимум $$1,$$ минимум $$-1.$$
3) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[-3;3],\ T=2\pi,$$ функция чётная, нули: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z,$$ максимум $$3,$$ минимум $$-3.$$
