Упр.687 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 687 При каких значениях а уравнение sin4 х + cos4 х = а имеет корни? Найти эти корни. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 687 1111

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Тогда

$$1-2\sin^2 x\cos^2 x=a,$$

$$2\sin^2 x\cos^2 x=1-a.$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$\frac12\sin^2 2x=1-a,$$

$$\sin^2 2x=2-2a.$$

Так как $$0\le \sin^2 2x\le 1,$$ то

$$0\le 2-2a\le 1,$$

откуда

$$\frac12\le a\le 1.$$

Теперь найдём корни. Из равенства

$$\sin^2 2x=2-2a$$

получаем

$$\sin 2x=\pm\sqrt{2-2a}.$$

Тогда

$$2x=\pm \arcsin\sqrt{2-2a}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

и, следовательно,

$$x=\pm \frac12\arcsin\sqrt{2-2a}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\frac12\le a\le 1,$$

$$x=\pm \frac12\arcsin\sqrt{2-2a}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$