Упр.603 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) cos(arcsin3/5+arccos4/5).

1. $$\sin\left(\arcsin \frac13+\arccos \frac{2\sqrt2}{3}\right)$$

   Используем формулу суммы синуса:

   $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$

   Тогда

   $$ \sin\left(\arcsin \frac13+\arccos \frac{2\sqrt2}{3}\right) = \sin\left(\arcsin \frac13\right)\cos\left(\arccos \frac{2\sqrt2}{3}\right) + \cos\left(\arcsin \frac13\right)\sin\left(\arccos \frac{2\sqrt2}{3}\right). $$

   Находим значения:

   $$ \sin\left(\arcsin \frac13\right)=\frac13,\qquad \cos\left(\arccos \frac{2\sqrt2}{3}\right)=\frac{2\sqrt2}{3}, $$

   $$ \cos\left(\arcsin \frac13\right)=\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3}, $$

   $$ \sin\left(\arccos \frac{2\sqrt2}{3}\right)=\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt2}{3}\right)^2} =\sqrt{1-\frac89}=\frac13. $$

   Подставляем:

   $$ \frac13\cdot \frac{2\sqrt2}{3}+\frac{2\sqrt2}{3}\cdot \frac13 = \frac{4\sqrt2}{9}. $$

2. $$\cos\left(\arcsin \frac35+\arccos \frac45\right)$$

   Используем формулу суммы косинуса:

   $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

   Тогда

   $$ \cos\left(\arcsin \frac35+\arccos \frac45\right) = \cos\left(\arcsin \frac35\right)\cos\left(\arccos \frac45\right) — \sin\left(\arcsin \frac35\right)\sin\left(\arccos \frac45\right). $$

   Находим значения:

   $$ \sin\left(\arcsin \frac35\right)=\frac35,\qquad \cos\left(\arccos \frac45\right)=\frac45, $$

   $$ \cos\left(\arcsin \frac35\right)=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45, \qquad \sin\left(\arccos \frac45\right)=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35. $$

   Подставляем:

   $$ \frac45\cdot \frac45-\frac35\cdot \frac35 = \frac{16}{25}-\frac{9}{25} = \frac{7}{25}. $$

Ответ

1) $$\frac{4\sqrt2}{9}$$; 2) $$\frac{7}{25}$$.