Упр.401 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

401 1)xlg9+9lgx=6;
2) x^(3lg^3(x) — 2/3lgx)=100 корень 3 степени 10.

1) $$x^{\lg 9}+9^{\lg x}=6$$

Так как $$\lg 9=2\lg 3$$ и $$x^{\lg 9}=x^{\frac{\lg 9}{\lg 10}}$$, удобнее воспользоваться свойством $$a^{\log_a b}=b$$:

$$ x^{\lg 9}=x^{\frac{\log_x 9}{\log_x 10}}=9^{\frac{1}{\log_x 10}}=9^{\lg x} $$

Тогда уравнение принимает вид:

$$ 9^{\lg x}+9^{\lg x}=6 $$
$$ 2\cdot 9^{\lg x}=6 $$
$$ 9^{\lg x}=3 $$
$$ \lg x=\log_9 3=\frac12 $$
$$ x=10^{1/2}=\sqrt{10} $$

2) $$x^{3(\lg x)^2-\frac23\lg x}=100\sqrt[3]{10}$$

Переходим к логарифму по основанию 10:

$$ \lg\left(x^{3(\lg x)^2-\frac23\lg x}\right)=\lg\left(100\sqrt[3]{10}\right) $$
$$ \left(3(\lg x)^2-\frac23\lg x\right)\lg x=2+\frac13=\frac73 $$

Обозначим $$t=\lg x$$. Тогда:

$$ t\left(3t^2-\frac23 t\right)=\frac73 $$
$$ 3t^3-\frac23 t^2=\frac73 $$
$$ 9t^3-2t^2-7=0 $$

Проверим рациональный корень: $$t=1$$ подходит:

$$ 9-2-7=0 $$

Тогда

$$ 9t^3-2t^2-7=(t-1)(9t^2+7t+7) $$

У квадратного уравнения $$9t^2+7t+7=0$$ дискриминант отрицателен:

$$ D=7^2-4\cdot 9\cdot 7=49-252<0 $$

Значит, $$t=1$$, то есть

$$ \lg x=1 $$
$$ x=10 $$

Ответ

1) $$x=\sqrt{10}$$; 2) $$x=10$$.