Упр.381 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

381. 1) log2(x-5) < =2; 2) log3(7-x) > 1;
3) log1/2(2x+1) > -2;
4) log1/2(3-5x) < -3.

1. $$\log_2(x-5)\le 2$$

   Так как $$2=\log_2 4$$ и основание $$2>1,$$ получаем:

   $$x-5\le 4,$$

   при этом область определения:

   $$x-5>0.$$

   Следовательно,

   $$5<x\le 9.$$

2. $$\log_3(7-x)>1$$

   Так как $$1=\log_3 3$$ и основание $$3>1,$$ то:

   $$7-x>3,$$

   при этом область определения:

   $$7-x>0.$$

   Отсюда

   $$x<4,$$

   что автоматически удовлетворяет ОДЗ.

3. $$\log_{\frac12}(2x+1)>-2$$

   Запишем $$-2$$ как логарифм:

   $$-2=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^{-2}=\log_{\frac12}4.$$

   Так как $$0<\frac12<1,$$ знак неравенства при переходе к аргументам меняется:

   $$2x+1<4.$$

   С учётом области определения:

   $$2x+1>0.$$

   Получаем систему:

   $$ \begin{cases} 2x+1<4,\\ 2x+1>0 \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} x<\frac32,\\ x>-\frac12 \end{cases} $$

   Значит,

   $$-\frac12<x<\frac32.$$

4. $$\log_{\frac12}(3-5x)<-3$$

   Представим число $$-3$$ в виде логарифма:

   $$-3=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^{-3}=\log_{\frac12}8.$$

   Так как $$0<\frac12<1,$$ знак неравенства меняется:

   $$3-5x>8.$$

   Тогда

   $$-5x>5,$$

   $$x<-1.$$

   Проверим область определения:

   $$3-5x>0,$$

   что при $$x<-1$$ выполняется.

Ответ

1) $$x\in(5;9]$$; 2) $$x\in(-\infty;4)$$; 3) $$x\in\left(-\frac12;\frac32\right)$$; 4) $$x\in(-\infty;-1)$$.