Упр.347 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) система
lgx-lgy=7,
lgx+lgy=5;
2) система
log2(x) +1/2log2(1/y) = 4,
xy=2.

1. Решим систему

   $$ \begin{cases} \lg x-\lg y=7,\\ \lg x+\lg y=5. \end{cases} $$

   Сложим уравнения:

   $$ 2\lg x=12,\qquad \lg x=6. $$

   Тогда

   $$ x=10^6. $$

   Из второго уравнения:

   $$ 6+\lg y=5,\qquad \lg y=-1, $$

   значит

   $$ y=10^{-1}. $$

2. Решим систему

   $$ \begin{cases} \log_2 x+\dfrac12\log_2\dfrac1y=4,\\ xy=2. \end{cases} $$

   Из второго уравнения:

   $$ x=\dfrac2y. $$

   Подставим в первое:

   $$ \log_2\dfrac2y+\dfrac12\log_2\dfrac1y=4. $$

   Так как $$\log_2\dfrac1y=-\log_2 y,$$ получаем

   $$ \log_2\dfrac2y+\dfrac12\log_2\dfrac1y =\log_2\left(\dfrac2y\cdot\sqrt{\dfrac1y}\right)=4. $$

   Тогда

   $$ \dfrac2{y\sqrt y}=2^4=16, $$

   откуда

   $$ y\sqrt y=\dfrac18. $$

   Положим $$\sqrt y=t$$, тогда $$y=t^2$$ и

   $$ t^3=\dfrac18,\qquad t=\dfrac12. $$

   Следовательно,

   $$ y=\dfrac14,\qquad x=\dfrac2y=8. $$

Ответ

1) $$\left(10^6;\,10^{-1}\right)$$; 2) $$\left(8;\,\dfrac14\right)$$.