Упр.190 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) (корень (2×2+7x-4))/(x+4) < 1/2; 3) корень (3+x) > |x-3|;
4) корень (3-x) < корень (7+x) + корень (10+x).

1. $$\frac{x^2-13x+40}{\sqrt{19x-x^2-78}}\le 0$$

   Так как знаменатель должен быть положительным, а дробь не превосходит нуля, получаем систему:

   $$ \begin{cases} x^2-13x+40\le 0,\\ 19x-x^2-78>0. \end{cases} $$

   Разложим на множители:

   $$ \begin{cases} (x-5)(x-8)\le 0,\\ (x-6)(x-13)>0. \end{cases} $$

   Тогда
   $$5\le x\le 8,$$
   и одновременно
   $$6<x<13.$$

   Пересечение этих промежутков:
   $$6<x\le 8.$$

2. $$\frac{\sqrt{2x^2+7x-4}}{x+4}<\frac12$$

   Рассмотрим два случая.

   1) $$x+4>0.$$ Тогда
   $$ 2\sqrt{2x^2+7x-4}<x+4. $$
   Возводим в квадрат:
   $$ 4(2x^2+7x-4)<(x+4)^2. $$
   Получаем:
   $$ 8x^2+28x-16<x^2+8x+16, $$
   $$ 7x^2+20x-32<0. $$
   Корни:
   $$ x_1=-4,\qquad x_2=\frac87. $$
   Значит,
   $$ -4<x<\frac87. $$
   С учётом условия $$x+4>0$$ и области определения $$2x^2+7x-4\ge 0$$ получаем
   $$ \frac12\le x<\frac87. $$

   2) $$x+4<0.$$ Тогда левая часть дроби отрицательна, а правая часть положительна, значит неравенство выполняется при всех допустимых $$x$$. Из условия существования корня:
   $$ 2x^2+7x-4\ge 0. $$
   Корни этого квадратного трёхчлена:
   $$ x=-4,\qquad x=\frac12. $$
   Поэтому
   $$ x\le -4 \quad \text{или} \quad x\ge \frac12. $$
   С учётом $$x+4<0$$ получаем
   $$x<-4.$$

   Объединяя результаты, имеем:
   $$x<-4 \quad \text{или} \quad \frac12\le x<\frac87.$$

3. $$\sqrt{x+3}>|x-3|$$

   Область определения:
   $$x+3\ge 0,$$
   то есть
   $$x\ge -3.$$

   Возведём обе части в квадрат:
   $$ x+3>(x-3)^2. $$
   Тогда
   $$ x+3>x^2-6x+9, $$
   $$ x^2-7x+6<0. $$
   Разложим на множители:
   $$ (x-1)(x-6)<0. $$
   Следовательно,
   $$1<x<6.$$

4. $$\sqrt{3-x}<\sqrt{7+x}+\sqrt{10+x}$$

   Область определения:
   $$ 3-x\ge 0,\quad 7+x\ge 0,\quad 10+x\ge 0. $$
   Отсюда
   $$-7\le x\le 3.$$

   Возведём обе части в квадрат:
   $$ 3-x<7+x+10+x+2\sqrt{(7+x)(10+x)}. $$
   После преобразований:
   $$ -14-3x<2\sqrt{x^2+17x+70}. $$
   При $$-14-3x\le 0$$ неравенство выполняется автоматически, то есть при
   $$ x\ge -\frac{14}{3}. $$
   Если же $$-14-3x>0,$$ то возводим в квадрат:
   $$ (-14-3x)^2<4(x^2+17x+70). $$
   Получаем:
   $$ 5x^2+16x-84<0. $$
   Корни:
   $$ x=-6,\qquad x=\frac{14}{5}. $$
   Значит,
   $$ -6<x<\frac{14}{5}. $$
   С учётом области определения и условия $$x<-\frac{14}{3}$$ получаем
   $$ -6<x<-\frac{14}{3}. $$
   Объединяя с частью $$x\ge -\frac{14}{3}$$ и ограничением $$x\le 3,$$ имеем
   $$ -6<x\le 3. $$

Ответ

1) $$6<x\le 8$$
2) $$x<-4$$ или $$\frac12\le x<\frac87$$
3) $$1<x<6$$
4) $$-6<x\le 3$$