Упр.188 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) корень (x-3) = 3 корень 4 степени + 4;
3) корень 6 степени (1-x) — 5 корень 3 степени (1-x) = -6;
4) x2+3x+ корень (x2+3x) = 2.
5) (корень (3-x) + корень (3+x))/(корень (3x-1) — корень (3+x)) = 2;
6) корень (x+6-4 корень(x+2)) + корень (11+x-6(x+2)) =1.

Подробный ответ

$$\sqrt{x+4}-3\sqrt[4]{x+4}+2=0.$$
Пусть $$y=\sqrt[4]{x+4}$$, тогда $$\sqrt{x+4}=y^2$$. Получаем:
$$y^2-3y+2=0,$$
$$D=9-8=1,$$
$$y_1=\frac{3-1}{2}=1,\qquad y_2=\frac{3+1}{2}=2.$$
1) $$\sqrt[4]{x+4}=1 \Rightarrow x+4=1 \Rightarrow x=-3.$$
2) $$\sqrt[4]{x+4}=2 \Rightarrow x+4=16 \Rightarrow x=12.$$
$$\sqrt{x-3}=3\sqrt[4]{x-3}+4.$$
Пусть $$y=\sqrt[4]{x-3}$$, тогда $$\sqrt{x-3}=y^2$$. Имеем:
$$y^2=3y+4,$$
$$y^2-3y-4=0,$$
$$D=9+16=25,$$
$$y_1=\frac{3-5}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{3+5}{2}=4.$$
Значение $$y=-1$$ не подходит, так как $$\sqrt[4]{x-3}\ge 0$$.
$$\sqrt[4]{x-3}=4 \Rightarrow x-3=256 \Rightarrow x=259.$$
$$\sqrt[6]{1-x}-5\sqrt[3]{1-x}=-6.$$
Пусть $$y=\sqrt[6]{1-x}$$, тогда $$\sqrt[3]{1-x}=y^2$$. Получаем:
$$y-5y^2=-6,$$
$$5y^2-y-6=0,$$
$$D=1+120=121,$$
$$y_1=\frac{1-11}{10}=-1,\qquad y_2=\frac{1+11}{10}=\frac65.$$
Значение $$y=-1$$ не подходит, так как $$\sqrt[6]{1-x}\ge 0$$.
$$\sqrt[6]{1-x}=\frac65,$$
$$1-x=\left(\frac65\right)^6=\frac{46656}{15625},$$
$$x=1-\frac{46656}{15625}=-\frac{31031}{15625}.$$
$$x^2+3x+\sqrt{x^2+3x}=2.$$
Пусть $$y=\sqrt{x^2+3x}$$, тогда $$x^2+3x=y^2$$ и
$$y^2+y=2,$$
$$y^2+y-2=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$
Значение $$y=-2$$ не подходит, так как $$\sqrt{x^2+3x}\ge 0$$.
$$\sqrt{x^2+3x}=1 \Rightarrow x^2+3x=1 \Rightarrow x^2+3x-1=0.$$
$$D=9+4=13,$$
$$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}.$$
$$\frac{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}}{\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}}=2.$$
Обозначим $$a=\sqrt{3-x}$$, $$b=\sqrt{3+x}$$. Тогда
$$\frac{a+b}{a-b}=2 \Rightarrow a+b=2a-2b \Rightarrow a=3b.$$
Возводим в квадрат:
$$3-x=9(3+x),$$
$$3-x=27+9x,$$
$$10x=-24,$$
$$x=-\frac{12}{5}.$$
Проверка области определения: $$3-x\ge 0$$ и $$3+x\ge 0$$, значит $$-3\le x\le 3$$. Найденное значение подходит.
$$\sqrt{x+6-4\sqrt{x+2}}+\sqrt{11+x-6\sqrt{x+2}}=1.$$
Пусть $$t=\sqrt{x+2}$$, тогда
$$x+6-4\sqrt{x+2}=t^2-4t+4=(t-2)^2,$$
$$11+x-6\sqrt{x+2}=t^2-6t+9=(t-3)^2.$$
Следовательно,
$$|t-2|+|t-3|=1.$$
Рассмотрим случаи:
1) $$t\ge 3$$, тогда $$t-2+t-3=1 \Rightarrow 2t=6 \Rightarrow t=3 \Rightarrow x=7.$$
2) $$2\le t\le 3$$, тогда $$t-2+3-t=1,$$ то есть равенство верно при любом $$t$$ из этого промежутка. Значит,
$$2\le \sqrt{x+2}\le 3 \Rightarrow 2\le x\le 7.$$
3) $$t\le 2$$, тогда $$2-t+3-t=1 \Rightarrow t=2 \Rightarrow x=2.$$
Итак, решение: $$2\le x\le 7.$$