Упр.173 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) корень x > 0,5x;
3) корень x > =2x-1;
4) корень x > = x2.

Подробный ответ

$$\sqrt{x}\le 2x$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
При $$x=0$$ неравенство верно. При $$x>0$$ возведём обе части в квадрат:
$$ \sqrt{x}\le 2x \\ x\le 4x^2 \\ 4x^2-x\ge 0 \\ x(4x-1)\ge 0 $$
С учётом $$x\ge 0$$ получаем:
$$x=0 \text{ или } x\ge \frac14.$$
Итак, $$x\ge \frac14$$.
$$\sqrt{x}>0{,}5x$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
При $$x=0$$ неравенство неверно. При $$x>0$$ возведём обе части в квадрат:
$$ \sqrt{x}>0{,}5x \\ x>0{,}25x^2 \\ 4x>x^2 \\ x(4-x)>0 $$
С учётом $$x\ge 0$$ получаем:
$$0<x<4.$$
$$\sqrt{x}\ge 2x-1$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Если $$2x-1\le 0$$, то неравенство выполняется автоматически, так как $$\sqrt{x}\ge 0$$. Тогда
$$2x-1\le 0 \Rightarrow x\le \frac12.$$
При $$x>\frac12$$ обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат:
$$ \sqrt{x}\ge 2x-1 \\ x\ge (2x-1)^2 \\ x\ge 4x^2-4x+1 \\ 4x^2-5x+1\le 0 \\ (4x-1)(x-1)\le 0 $$
Отсюда $$\frac14\le x\le 1$$. С учётом случая $$x\le \frac12$$ получаем:
$$0\le x\le 1.$$
$$\sqrt{x}\ge x^2$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
При $$x\ge 0$$ возведём обе части в квадрат:
$$ \sqrt{x}\ge x^2 \\ x\ge x^4 \\ x^4-x\le 0 \\ x(x^3-1)\le 0 \\ x(x-1)(x^2+x+1)\le 0 $$
Так как $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x$$, получаем:
$$x(x-1)\le 0,$$
то есть
$$0\le x\le 1.$$