Упр.1621 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1621 Найти все значения а, при которых наименьшее значение функции у = х2 + (а + 4) х + 2a + 3 на отрезке [0; 2] равно -4. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1621 1111

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=x^2+(a+4)x+2a+3.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, парабола направлена вверх, значит наименьшее значение на отрезке $$[0;2]$$ достигается либо в вершине, либо на концах отрезка.

Найдём абсциссу вершины:

$$y'(x)=2x+a+4,$$

$$2x+a+4=0,$$

$$x_0=-\frac{a+4}{2}.$$

Рассмотрим возможные случаи.

Вершина лежит на отрезке $$[0;2]$$.
Тогда
$$0\le -\frac{a+4}{2}\le 2,$$
откуда
$$-8\le a\le -4.$$
Значение функции в вершине:
$$y_{\min}=f\!\left(-\frac{a+4}{2}\right)=\left(-\frac{a+4}{2}\right)^2+(a+4)\left(-\frac{a+4}{2}\right)+2a+3,$$
$$y_{\min}=-\frac{(a+4)^2}{4}+2a+3.$$
По условию $$y_{\min}=-4$$, значит
$$-\frac{(a+4)^2}{4}+2a+3=-4,$$
$$-(a+4)^2+8a+12=-16,$$
$$-(a^2+8a+16)+8a+28=0,$$
$$-a^2+12=0,$$
$$a^2=12,$$
$$a=\pm 2\sqrt{3}.$$
Из условия $$-8\le a\le -4$$ эти значения не подходят.
Вершина правее отрезка $$[0;2]$$.
Тогда минимум на отрезке достигается при $$x=2$$, а условие на вершину:
$$-\frac{a+4}{2}\ge 2,$$
то есть
$$a\le -8.$$
Подставим $$x=2$$:
$$f(2)=4+2(a+4)+2a+3=4a+15.$$
По условию
$$4a+15=-4,$$
$$4a=-19,$$
$$a=-\frac{19}{4}.$$
Это значение не удовлетворяет условию $$a\le -8$$, значит не подходит.
Вершина левее отрезка $$[0;2]$$.
Тогда минимум на отрезке достигается при $$x=0$$, а условие на вершину:
$$-\frac{a+4}{2}\le 0,$$
то есть
$$a\ge -4.$$
Подставим $$x=0$$:
$$f(0)=2a+3.$$
По условию
$$2a+3=-4,$$
$$2a=-7,$$
$$a=-\frac{7}{2}.$$
Это значение удовлетворяет условию $$a\ge -4$$.