Упр.1600 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) корень (5 sin 2x — 2) = sin x — cos x.

Подробный ответ

$$\sin x+\cos x=\sqrt{1+\tg x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\left(\sin x+\cos x\right)^2=1+\tg x=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x}$$
Умножим на $$\cos x$$:
$$\cos x\left(\sin x+\cos x\right)^2-\left(\cos x+\sin x\right)=0$$
После преобразований получаем:
$$\left(\sin x+\cos x\right)\left(\left(\sin x+\cos x\right)\cos x-1\right)=0$$
Отсюда:
$$\sin x+\cos x=0$$
или
$$\left(\sin x+\cos x\right)\cos x-1=0$$
1) $$\sin x+\cos x=0$$
$$\tg x=-1$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$\left(\sin x+\cos x\right)\cos x-1=0$$
$$\sin x\cos x+\cos^2 x-1=0$$
$$\sin x\cos x-\sin^2 x=0$$
$$\sin x\left(\cos x-\sin x\right)=0$$
Тогда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x-\sin x=0$$
Если $$\sin x=0$$, то
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Если $$\cos x-\sin x=0$$, то
$$\tg x=1$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Проверка области определения даёт, что все найденные значения подходят.
$$\sqrt{5\sin 2x-2}=\sin x-\cos x$$
Так как левая часть неотрицательна, то
$$\sin x-\cos x\ge 0$$
Возведём обе части в квадрат:
$$5\sin 2x-2=\left(\sin x-\cos x\right)^2$$
$$5\sin 2x-2=\sin^2 x+\cos^2 x-2\sin x\cos x$$
$$5\sin 2x-2=1-\sin 2x$$
$$6\sin 2x=3$$
$$\sin 2x=\frac12$$
Отсюда:
$$2x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{12}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Проверим условие $$\sin x-\cos x\ge 0$$.
Для $$x=\frac{\pi}{12}+\pi n$$ получаем $$\sin x-\cos x<0$$, поэтому эти корни не подходят.
Для $$x=\frac{5\pi}{12}+\pi n$$ условие выполняется.