Упр.1579 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1579 При всех а решить неравенство | х — 5а | < = 4а - 3 и указать все значения а, при которых решения этого неравенства являются решениями неравенства х2 - 4х - 5 < 0. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1579 1111

Рассмотрим неравенство

$$|x-5a|\le 4a-3.$$

Чтобы оно имело решения, необходимо

$$4a-3\ge 0,$$

то есть

$$a\ge \frac34.$$

Если $$a=\frac34,$$ то

$$|x-5a|=0,$$

откуда

$$x=5a=\frac{15}{4}.$$

Если $$a>\frac34,$$ то раскрываем модуль по определению:

$$-\,\bigl(4a-3\bigr)\le x-5a\le 4a-3.$$

Тогда

$$a+3\le x\le 9a-3.$$

Теперь найдём, при каких значениях $$a$$ все решения этого неравенства являются решениями неравенства

$$x^2-4x-5<0.$$

Решим его:

$$x^2-4x-5<0$$

$$ (x+1)(x-5)<0,$$

откуда

$$-1<x<5.$$

Значит, нужно, чтобы множество решений первого неравенства целиком лежало в интервале $$(-1;5).$$

Для случая $$a>\frac34$$ получаем систему:

$$ \begin{cases} a+3\ge -1,\\ 9a-3\le 5. \end{cases} $$

Отсюда

$$a\ge -4,\qquad a\le \frac89.$$

С учётом условия $$a>\frac34$$ имеем

$$\frac34<a\le \frac89.$$

При $$a=\frac34$$ решение равно $$x=\frac{15}{4},$$ и это число действительно принадлежит интервалу $$(-1;5).$$

При $$a<\frac34$$ решений нет.

Ответ

$$a=\frac34 \text{ или } \frac34<a\le \frac89.$$