Упр.1576 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1576 (x3+x2-4x-4)/(x3+6×2+5x-12) > 0.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)=(x^2-4)(x+1)=(x-2)(x+2)(x+1),$$

$$x^3+6x^2+5x-12=(x-1)(x+3)(x+4).$$

Тогда неравенство принимает вид

$$\frac{(x-2)(x+2)(x+1)}{(x-1)(x+3)(x+4)}>0.$$

Критические точки:

$$x=-4,\,-3,\,-2,\,-1,\,1,\,2.$$

Рассмотрим знаки дроби на промежутках, получаем:

$$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;-2)\cup(-1;1)\cup(2;+\infty).$$

Ответ

$$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;-2)\cup(-1;1)\cup(2;+\infty).$$