Упр.1575 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1575 log |2x+2|(1-9x) < log |2x+2|(1+3x) + log |2x+2| (5/9 + 3(x+1)).

Обозначим основание логарифмов: $$|2x+2|.$$ Для существования логарифмов нужно

$$|2x+2|>0,\qquad |2x+2|\ne 1.$$

Так как основание зависит от $x$, рассмотрим два случая.

1) $$|2x+2|>1$$

Тогда логарифмическая функция возрастает, и неравенство равносильно

$$1-9^x<(1+3^x)\left(\frac59+3^{x-1}\right).$$

Преобразуем правую часть:

$$\left(1+3^x\right)\left(\frac59+3^{x-1}\right)=\frac59+3^{x-1}+\frac59\cdot 3^x+3^{2x-1}.$$

Удобнее перейти к виду, как в решении:

$$1-9^x<(1+3^x)\left(\frac59+3^{x-1}\right).$$

После преобразований получаем

$$4<12\cdot 3^x,$$

откуда

$$3^x>\frac13,\qquad x>-1.$$

Из условия $$|2x+2|>1$$ имеем

$$x<-\frac32 \quad \text{или} \quad x>-\frac12.$$

С учётом $$x>-1$$ получаем

$$x>-\frac12.$$

2) $$|2x+2|<1$$

Тогда логарифмическая функция убывает, и неравенство равносильно

$$1-9^x>(1+3^x)\left(\frac59+3^{x-1}\right).$$

После преобразований получаем

$$4>12\cdot 3^x,$$

откуда

$$3^x<\frac13,\qquad x<-1.$$

Из условия $$|2x+2|<1$$ имеем

$$-\frac32<x<-\frac12.$$

Пересечение даёт

$$-\frac32<x<-1.$$

Теперь учтём область определения логарифмов:

$$1-9^x>0 \;\Rightarrow\; x<0,$$

$$1+3^x>0,$$

$$\frac59+3^{x-1}>0.$$

Эти условия выполняются для найденных промежутков.

Ответ

$$x\in\left(-\frac32,-1\right)\cup\left(-\frac12,0\right).$$