Упр.1534 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1534 Исследовать с помощью производной функцию у = х3- 5×2 — x + 5 и построить её график. Записать уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой, равной 4. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1534 1111

Рассмотрим функцию $$y=x^3-5x^2-x+5.$$

Найдём производную:

$$y’=(x^3-5x^2-x+5)’=3x^2-10x-1.$$

Исследуем функцию на возрастание и убывание. Для этого решим неравенство

$$3x^2-10x-1>0.$$

Найдём корни уравнения $$3x^2-10x-1=0$$:

$$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=100+12=112=16\cdot 7,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm \sqrt{112}}{6}=\frac{10\pm 4\sqrt7}{6}=\frac{5\pm 2\sqrt7}{3}.$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$y’>0 \text{ при } x<\frac{5-2\sqrt7}{3} \text{ и } x>\frac{5+2\sqrt7}{3},$$

$$y'<0 \text{ при } \frac{5-2\sqrt7}{3}<x<\frac{5+2\sqrt7}{3}.$$

Следовательно, функция возрастает на промежутках

$$\left(-\infty,\frac{5-2\sqrt7}{3}\right)\cup \left(\frac{5+2\sqrt7}{3},+\infty\right),$$

и убывает на промежутке

$$\left(\frac{5-2\sqrt7}{3},\frac{5+2\sqrt7}{3}\right).$$

Критические точки:

$$x_{\max}=\frac{5-2\sqrt7}{3}, \qquad x_{\min}=\frac{5+2\sqrt7}{3}.$$

Найдём значения функции в этих точках:

$$y\!\left(\frac{5-2\sqrt7}{3}\right)\approx 5, \qquad y\!\left(\frac{5+2\sqrt7}{3}\right)\approx -16{,}9.$$

Для построения графика отметим несколько точек:

$$(-2,-21),\;(-1,0),\;(1,0),\;(3,-16),\;(5,0).$$

Теперь найдём уравнение касательной к графику в точке с абсциссой $$x_0=4.$$

$$y'(4)=3\cdot 4^2-10\cdot 4-1=48-40-1=7,$$

$$y(4)=4^3-5\cdot 4^2-4+5=64-80-4+5=-15.$$

Уравнение касательной:

$$y=y'(4)(x-4)+y(4)=7(x-4)-15=7x-43.$$

Ответ

Функция возрастает на $$\left(-\infty,\frac{5-2\sqrt7}{3}\right)\cup \left(\frac{5+2\sqrt7}{3},+\infty\right),$$ убывает на $$\left(\frac{5-2\sqrt7}{3},\frac{5+2\sqrt7}{3}\right).$$
Точка максимума: $$x=\frac{5-2\sqrt7}{3}.$$
Точка минимума: $$x=\frac{5+2\sqrt7}{3}.$$
Уравнение касательной: $$y=7x-43.$$