Упр.1523 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1523 Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса R и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1523 1111

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда в осевом сечении цилиндра диагональ равна диаметру шара:

$$ (2r)^2+h^2=(2R)^2. $$

Отсюда

$$ h=2\sqrt{R^2-r^2}. $$

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$$ S=2\pi r h=2\pi r\cdot 2\sqrt{R^2-r^2}=4\pi r\sqrt{R^2-r^2}. $$

Найдём максимум функции

$$ S(r)=4\pi r\sqrt{R^2-r^2}. $$

Достаточно максимизировать квадрат этой величины:

$$ S^2=16\pi^2 r^2(R^2-r^2)=16\pi^2(R^2r^2-r^4). $$

Рассмотрим функцию

$$ f(r)=R^2r^2-r^4. $$

Тогда

$$ f'(r)=2R^2r-4r^3=2r(R^2-2r^2). $$

При $$r>0$$ максимум достигается, когда

$$ R^2-2r^2=0, $$

то есть

$$ r^2=\frac{R^2}{2}, \qquad r=\frac{R}{\sqrt2}. $$

Ответ

$$\frac{R}{\sqrt2}$$