Упр.1466 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = 2- |х|;
2) у = |2 — х|;
3) у = |2 — х| + |х — 3|.
Выяснить, пересекает ли график каждой из данных функций прямую у = 3. В случае утвердительного ответа найти координаты точек пересечения.

1) $$y=2-|x|$$

График — ломаная с вершиной в точке $$\left(0;2\right)$$. Для построения удобно взять несколько точек:

$$x=-2,\ y=0;\qquad x=2,\ y=0.$$

Проверим пересечение с прямой $$y=3$$:

$$2-|x|=3$$

$$-|x|=1$$

$$|x|=-1$$

Решений нет, значит, график прямую $$y=3$$ не пересекает.

2) $$y=|2-x|$$

Вершина графика: $$x=2,\ y=0$$, то есть точка $$\left(2;0\right)$$. Для построения можно взять точки:

$$x=0,\ y=2;\qquad x=4,\ y=2.$$

Найдём точки пересечения с прямой $$y=3$$:

$$|2-x|=3$$

$$2-x=3 \quad \text{или} \quad 2-x=-3$$

$$x=-1 \quad \text{или} \quad x=5$$

Следовательно, точки пересечения:

$$\left(-1;3\right),\ \left(5;3\right).$$

3) $$y=|2-x|+|x-3|$$

Рассмотрим по промежуткам.

Если $$x<2$$, то

$$y=(2-x)+(3-x)=5-2x.$$

Если $$2\le x<3$$, то

$$y=(2-x)+(3-x)=5-2x,$$

но на этом промежутке удобно отметить, что при $$x=2$$ и $$x=3$$ значение функции равно $$1$$.

Если $$x\ge 3$$, то

$$y=(x-2)+(x-3)=2x-5.$$

Проверим пересечение с прямой $$y=3$$:

$$|2-x|+|x-3|=3.$$

1) При $$x<2$$:

$$5-2x=3$$

$$x=1.$$

2) При $$2\le x<3$$:

$$|2-x|+|x-3|=(x-2)+(3-x)=1,$$

поэтому решений нет.

3) При $$x\ge 3$$:

$$2x-5=3$$

$$x=4.$$

Значит, точки пересечения:

$$\left(1;3\right),\ \left(4;3\right).$$

Ответ

1) Не пересекает.

2) $$\left(-1;3\right),\ \left(5;3\right).$$

3) $$\left(1;3\right),\ \left(4;3\right).$$